접선과 넓이

[출제의도] 도함수를 이용하여 접선의 방정식과 도형의 넓이를 구한다. 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{x - 1}$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \mathit{-} \frac{1}{\left( x - 1 \right) ^{2}}$ 점 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 2 \right)$에서의 접선의 기울기가 $- 4$이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \mathit{-} 4 \left( x - \frac{3}{2} \right) + 2$ $y = \mathit{-} 4 x + 8$ 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x - 1}$ 위의 점 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 2 \right)$에서의 접선과 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 부분은 그림과 같이 밑변의 길이가 $2$이고 높이가 $8$인 직각삼각형이다.

따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 8 = 8$