접선과 구분구적법

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-적분법 $\displaystyle x _{k} = \frac{k}{n} ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n )$은 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$을 $n$등분하는 점의 $x$좌표이다. $f' ( x ) = 2 e ^{2 x} - e ^{x} + e = e ^{x} ( 2 e ^{x} - 1 ) + e$ $0 \leq x \leq 1$에서 $1 \leq e ^{x} \leq e$이므로 $f' ( x ) > 0$ 따라서 함수 $f ( x )$는 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 증가하고, $f ( 0 ) = 0$이므로 $f ( x ) \geq 0$ 따라서 $\displaystyle \frac{f ( x _{k} )}{{\overline{B _{k} C _{k}}}} = f' ( x _{k} )$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{\left\{ f ( x _{k} ) \right\} ^{4}}{{\overline{B _{k} C _{k}}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ f ( x _{k} ) \right\} ^{3} f' ( x _{k} )$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\left\{ f ( x ) \right\} ^{3} f' ( x ) dx}$ $t = f ( x )$로 놓으면 $x = 0$일 때 $t = f ( 0 ) = 0$, $x = 1$일 때, $t = f ( 1 ) = e ^{2}$ 이고, $\displaystyle \frac{dt}{dx} = f' ( x )$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{\left\{ f ( x _{k} ) \right\} ^{4}}{{\overline{B _{k} C _{k}}}}$$\displaystyle = \int _{0} ^{e ^{2}} {t ^{3} dt}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} t ^{4} \right] _{0} ^{e ^{2}} = \frac{1}{4} e ^{8}$