접선과 곡선 사이 넓이

[출제의도] 정적분을 이해하여 곡선과 직선 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다. $f ( x ) = x ^{2} - 4 x + 6$이라 하면 $f' ( x )$$= 2 x - 4$ 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $\mathrm{A} \left( 3 , 3 \right)$에서의 접선의 기울기가 $f' ( 3 )$$= 2$이므로 접선 $l$의 방정식은 $y - 3$$= 2 \left( x - 3 \right)$, $y = 2 x - 3$ 따라서 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $l$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} \left\{ x ^{2} - 4 x + 6 - \left( 2 x - 3 \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left( x ^{2} - 6 x + 9 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - 3 x ^{2} + 9 x \right] _{0} ^{3}$$= 9$