접선과 곡선 사이 넓이

$f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 4 x - 1$이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 $\left( t , f \left( t \right) \right)$라 하면 접선의 방정식은 $y = \left( 3 t ^{2} + 4 t - 1 \right) \left( x - t \right) + \left( t ^{3} + 2 t ^{2} - t + 4 \right)$ 이 접선이 원점을 지나므로 $- 2 t ^{3} - 2 t ^{2} + 4 = 0$, $- 2 \left( t - 1 \right) \left( t ^{2} + 2 t + 2 \right) = 0$ $t = 1$ 그러므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( 1 , 6 \right)$이고 점 ${\mathrm{A}}$에서의 접선의 방정식은 $y = 6 x$이다. 구하는 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{- 2} ^{0} \left( x ^{3} + 2 x ^{2} - x + 4 \right) dx + \int _{0} ^{1} \left\{ \left( x ^{3} + 2 x ^{2} - x + 4 \right) - 6 x \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{2}{3} x ^{3} - \frac{1}{2} x ^{2} + 4 x \end{array} \right] _{- 2} ^{0} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} + \frac{2}{3} x ^{3} - \frac{7}{2} x ^{2} + 4 x \end{array} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{34}{3} + \frac{17}{12} = \frac{153}{12} = \frac{51}{4}$