대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선과 등차수열 내각

문제

원 O\mathrm{O} 위에 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 있다. 점 A\mathrm{A}에서 원 O\mathrm{O}에 접하는 접선 ll과 선분 AB\mathrm{AB}가 이루는 예각의 크기가 18∘18 ^\circ이다. 선분 OB\mathrm{OB} 위의 한 점 C\mathrm{C}에 대하여 삼각형 OAC\mathrm{OAC}의 세 내각의 크기가 등차수열을 이룰 때, 가장 큰 내각의 크기는? [4점]

①68∘68 ^\circ②72∘72 ^\circ③76∘76 ^\circ④80∘80 ^\circ⑤84∘84 ^\circ

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⑤

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해설

접선 ll과 선분 AB\mathrm{AB}가 이루는 예각의 크기가 18∘18 ^\circ이므로 ∠AOC=36∘\mathrm{\angle} AOC = 36 ^\circ이다. ∠OAC=α\mathrm{\angle} OAC = \alpha, ∠ACO=β\mathrm{\angle} ACO = \beta라 하면, α+β=144∘\alpha + \beta = 144 ^\circ이고, 가장 긴 변이 선분 OA\mathrm{OA}이므로 가장 큰 각은 β\beta이다. (ⅰ) 36∘36 ^\circ, α\alpha, β\beta의 순서로 등차수열을 이루는 경우 2α=β+36∘=(144∘−α)+36∘=180∘−α2 \alpha = \beta + 36 ^\circ = ( 144 ^\circ - \alpha ) + 36 ^\circ = 180 ^\circ - \alpha ∴ α=60∘\alpha = 60 ^\circ, β=84∘\beta = 84 ^\circ (ⅱ) α\alpha, 36∘36 ^\circ, β\beta의 순서로 등차수열을 이루는 경우 α+β=72∘\alpha + \beta = 72 ^\circ가 되므로 모순이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 β=84∘\beta = 84 ^\circ

태그

#등차수열#원

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