접선과 부등식

[출제의도] 접선을 이용하여 함수의 그래프의 개형과 함수식을 구할 수 있으며 미분을 이용하여 부등식에 관련된 문제를 해결할 수 있는가? 조건 (가)에서 곡선 $y = g ( x )$위의 점 (2,0)에서의 접선이 $x$축이고, 함수 $g ( x )$는 최고차항의 계수가 -1인 이차함수이므로 $g ( x ) = - ( x - 2 ) ^{2}$이다. 삼차함수 $f ( x )$의 최고차항의 계수가 1이므로 $x < 0$인 범위에서 두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$는 반드시 한 점에서 만난다. 조건 (다)에서 방정식 $f ( x ) = g ( x )$는 오직 하나의 실근을 가지므로 두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$는 $x < 0$에서 만나는 점을 제외한 점에서는 만나지 않아야 한다. 또, 조건 (가)에서 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 (0, 0)에서의 접선이 $x$축이므로 곡선 $y = f ( x )$는 $x$축과 접해야 한다. 그러므로 함수 $y = f ( x )$가 극값을 갖는 경우와 극값을 갖지 않는 경우로 나눈 후, $y = f ( x )$의 그래프의 개형을 그려 점 (2,0)에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선의 개수를 조사하면 다음과 같다. (ⅰ) 함수 $f ( x )$가 극값을 갖는 경우 함수 $y = f ( x )$가 $x = 0$에서 극솟값을 가질 때, 점 (2,0)에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 $x$축을 포함하여 3개이다.

한편, 함수 $f ( x )$가 $x = 0$에서 극댓값을 가질 때 다음과 같이 세가지로 나누어 생각할 수 있다. a) $f ( 2 ) > 0$이면 점 (2,0)에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 $x$축을 포함하여 3개이다.

b) $f ( 2 ) = 0$이면 점 (2,0)에서 곡선에 $y = f ( x )$에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 $x$축을 포함하여 2개이다. 하지만 이때는 두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$는 서로 다른 세 점에서 만난다.

c) $f ( 2 ) < 0$이면 점 (2,0)에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선은 $x$축 뿐이다. 즉 접선의 개수는 다음 그림과 같이 1개이다.

(ⅱ) 함수 $f ( x )$가 극값을 갖지 않는 경우 함수 $f ( x ) = x ^{3}$이고, 점 (2,0)에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선의 개수는 그림과 같이 $x$축 포함하여 2개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $f ( x ) = x ^{3}$이다. 한편 $x > 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) \leq kx - 2 \leq f ( x )$ 이므로 곡선 $y = g ( x )$는 직선 $y = kx - 2$와 만나거나 아래쪽에 있어야 하고 곡선 $y = f ( x )$는 직선 $y = kx - 2$와 만나거나 위쪽에 있어야 한다. 한편 직선 $y = kx - 2$는 점 (0,-2)를 지나는 직선이고, $k$는 이 직선의 기울기이므로 $k$가 최소가 되는 직선과 최대가 되는 직선은 다음 그림과 같이 접선이다.

점 (0,-2)를 지나고 곡선 $y = f ( x )$와의 접점을 $( p , p ^{3} )$이라 하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2}$이므로 접선의 방정식은 $y = 3 p ^{2} ( x - p ) + p ^{3}$ 이다. 이 접선이 (0,-2)를 지나므로 대입하면 $- 2 = 3 p ^{2} ( - p ) + p ^{3}$ $p = 1$ 그러므로 $\alpha = 3$ 또, 점 (0,-2)를 지나고 곡선 $y = g ( x )$의 접점을 $( q , - ( q - 2 ) ^{2} )$이라 하면 $g' ( x ) = - 2 ( x - 2 )$이므로 접선의 방정식은 $y = - 2 ( q - 2 ) ( x - q ) - ( q - 2 ) ^{2}$ 이다. 이 접선이 (0,-2)를 지나므로 대입하면 $- 2 = - 2 ( q - 2 ) ( - q ) - ( q - 2 ) ^{2}$ $- 2 = 2 q ^{2} - 4 q - q ^{2} + 4 q - 4$ $q ^{2} = 2$ $q > 0$ 이므로 $\displaystyle q = \sqrt{2}$ 그러므로 $\displaystyle \beta = - 2 ( \sqrt{2} - 2 ) = 4 - 2 \sqrt{2}$ 이다. 이때, $\displaystyle \alpha - \beta = 3 - ( 4 - 2 \sqrt{2} ) = - 1 + 2 \sqrt{2}$ 따라서 $a = - 1 , b = 2$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2} = 5$