미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선으로 만든 삼각형 넓이의 급수

문제

xx축 위의 점 An(xn,0){\mathrm{A}} _{n} ( x _{n} , 0 )에 대하여 함수 f(x)=4x2f ( x ) = 4 x ^{2}의 그래프 위의 점 Bn(xn,f(xn)){\mathrm{B}} _{n} ( x _{n} , f ( x _{n} ) )에서 접선이 xx축과 만나는 점을 An+1(xn+1,0){\mathrm{A}} _{n+1} ( x _{n+1} , 0 )이라 하자. 삼각형 AnBnAn+1{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{A}} _{n+1}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}의 값은? (단, x1=1x _{1} = 1) [4점] ①43\displaystyle \frac{4}{3}②54\displaystyle \frac{5}{4}③65\displaystyle \frac{6}{5}④76\displaystyle \frac{7}{6}⑤87\displaystyle \frac{8}{7}

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

f′(x)=8xf' ( x ) = 8 x이므로 f(x)=4x2f ( x ) = 4 x ^{2}의 그래프 위의 점 Bn(xn,f(xn)){\mathrm{B}} _{n} ( x _{n} , f ( x _{n} ) )에서 접선의 방정식은 y=8xn(x−xn)+4xn2y = 8 x _{n} ( x - x _{n} ) + 4 x _{n} ^{2} 따라서 0=8xn(xn+1−xn)+4xn20 = 8 x _{n} ( x _{n+1} - x _{n} ) + 4 x _{n} ^{2}에서 xn+1=12xn\displaystyle x _{n+1} = \frac{1}{2} x _{n} ∴ xn=(12)n−1\displaystyle x _{n} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} (∵ x1=1x _{1} = 1) ∴ SnS _{n}=12(xn2)4xn2\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{x _{n}}{2} \right) 4 x _{n} ^{2}=(18)n−1\displaystyle = \left( \frac{1}{8} \right) ^{n-1} ∴ ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}=11−18\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}=87\displaystyle = \frac{8}{7}

태그

#접선의 방정식#등비수열#무한급수

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 도함수의 활용 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로