접선으로 둘러싸인 넓이

$f' ( x ) = x ^{2} - 2 kx = 0$$= x ( x - 2 k ) = 0$ $x = 0$에서 극대, $x = 2 k$에서 극소 ($\because k > 0$) $f' ( x ) = x ^{2} - 2 kx = 3 k ^{2}$ $x ^{2} - 2 kx - 3 k ^{2} = 0$ 에서 $( x - 3 k ) ( x + k ) = 0$ $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$점의 $x$좌표는 $- k$, $3 k$이다. $f ( 0 ) = 1$, $\displaystyle f ( 2 k ) = {\frac{8 k ^{3}}{3} - 4 k ^{3} + 1 = 1 - \frac{4}{3} k ^{3}}$ $\displaystyle f ( - k ) = {\frac{- k ^{3}}{3} - k ^{3} + 1 = 1 - \frac{4}{3} k ^{3}}$ $f ( 3 k ) = 9 k ^{3} - 9 k ^{3} + 1 = 1$ 이상을 정리하면 다음 그림과 같다.

따라서 구하려는 도형은 $\square {\mathrm{ABCD}}$이다. $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( - k , 1 - \frac{3}{4} k ^{3} \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y - \left( 1 - \frac{4}{3} k ^{3} \right) = 3 k ^{2} ( x + k )$ $\mathrm{C}$점의 좌표가 $1$이므로 $y = 1$을 대입하면 $\displaystyle \frac{4}{3} k ^{3} = 3 k ^{2} ( x + k )$ $\displaystyle \therefore x = - \frac{5}{9} k$ $\displaystyle \therefore {\mathrm{C}} \left( - \frac{5}{9} k , 1 \right)$ 따라서 밑변의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 3 k - \left( - \frac{5}{9} k \right)$이고 높이는 $\displaystyle 1 - \left( 1 - \frac{3}{4} k ^{3} \right) = \frac{3}{4} k ^{3}$ $\displaystyle {\mathrm{S}} = \left( 3 k + \frac{5}{9} k \right) \frac{4}{3} k ^{3} = 24$ $\displaystyle k ^{4} = {\frac{3 ^{4}}{2 ^{4}}}$ $\displaystyle \therefore k = \frac{3}{2}$