접선 y=5인 삼차함수

직선 $y = 5$는 기울기가 $0$이므로 곡선 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 5$가 접하는 점의 $x$좌표는 $f' \left( x \right) = 0$을 만족시킨다. $f \left( x \right) = x ^{3} + 3 ax ^{2} - 9 a ^{2} x + 4$에서 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 6 ax - 9 a ^{2}$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $3 x ^{2} + 6 ax - 9 a ^{2} = 0$, $3 \left( x - a \right) \left( x + 3 a \right) = 0$ $\therefore$ $x = a$ 또는 $x = - 3 a$ (ⅰ) $x = a$일 때 $f \left( a \right) = a ^{3} + 3 a \times a ^{2} - 9 a ^{2} \times a + 4 = - 5 a ^{3} + 4$ 이때 접선의 방정식이 $y = 5$이므로 $- 5 a ^{3} + 4 = 5$, $- 5 a ^{3} = 1$, $\displaystyle a ^{3} = - \frac{1}{5}$ $a$는 양수이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $x = - 3 a$일 때 $f \left( - 3 a \right)$$= \left( - 3 a \right) ^{3} + 3 a \times \left( - 3 a \right) ^{2} - 9 a ^{2} \times \left( - 3 a \right) + 4$ $= - 27 a ^{3} + 27 a ^{3} + 27 a ^{3} + 4 = 27 a ^{3} + 4$ 이때 접선의 방정식이 $y = 5$이므로 $27 a ^{3} + 4 = 5$, $27 a ^{3} = 1$, $\displaystyle a ^{3} = \frac{1}{27}$ $a$가 양수이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ $\therefore$ $f \left( x \right) = x ^{3} + x ^{2} - x + 4$ $\therefore$ $f \left( 2 \right) = 2 ^{3} + 2 ^{2} - 2 + 4 = 14$