접선 x절편 차 극값

[출제의도] 로그함수의 접선을 활용하여 문제해결하기 $y = \ln x$를 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle y' = \frac{1}{x}$ 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{t} , \ln t \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y - \ln t = \frac{1}{t} \left( x - t \right)$ $\therefore$ $r \left( t \right) = t - t \ln t$ 점 $\mathrm{Q} \left( \mathit{2} t , \ln 2 t \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y - \ln 2 t = \frac{1}{2 t} \left( x - 2 t \right)$ $\therefore$ $s \left( t \right) = 2 t - 2 t \ln 2 t$ $f \left( t \right) = r \left( t \right) - s \left( t \right) = \left( 2 \ln 2 - 1 \right) t + t \ln t$ $f' \left( t \right) = 2 \ln 2 + \ln t = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{1}{4}$ 함수 $f \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

따라서 극솟값은 $\displaystyle - \frac{1}{4}$