접선 삼각형 넓이 극값

$y = x ^{2}$에서 $y' = 2 x$이므로 접선 $l$의 방정식은 $y - a ^{2} = 2 a ( x - a )$즉, $y = 2 ax - a ^{2}$ 이고 점 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \frac{a}{2} , 0 \right)$이다. 이때, 직선 $m$의 방정식은 $y = - 2 ax + a ^{2}$ 직선 $n$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{2 a} \left( x - \frac{a}{2} \right)$$\displaystyle = - \frac{x}{2 a} + \frac{1}{4}$ 이므로 점 $\mathrm{B}$$\left( 0 , a ^{2} \right)$, 점 $\mathrm{C}$$\displaystyle \left( 0 , \frac{1}{4} \right)$이다. ∴ $S ( a )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{4} - a ^{2} \right) \times \frac{a}{2}$$\displaystyle = \frac{a ( 1 - 4 a ^{2} )}{16}$ (∵ $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$) $S' ( a )$$\displaystyle = \frac{1 - 12 a ^{2}}{16} = 0$에서 $\displaystyle a = \pm \frac{\sqrt{3}}{6}$이므로 $S ( a )$는 $\displaystyle a = - \frac{\sqrt{3}}{6}$에서 극솟값을 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{6}$에서 극댓값을 갖는다. 따라서 구하는 값은 $\displaystyle S \left( \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{6} \times \left( 1 - \frac{1}{3} \right)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{144}$