접선 사다리꼴 넓이 최소

곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x}$와 접선 $l$의 접점을 $\mathrm{P}$로 놓으면 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( a , \sqrt{a} \right)$이다. 이때, 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x}$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle y' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$에서 $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{a}}$ 따라서, 접선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y - \sqrt{a} = \frac{1}{2 \sqrt{a}} \left( x - a \right)$ $\therefore$$\displaystyle y = \frac{1}{2 \sqrt{a}} x + \frac{\sqrt{a}}{2}$

직선 $l$은 점 $\displaystyle \left( 8 , \frac{4}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2} \right)$를 지나므로 아래 그림에서 어두운 부분인 사다리꼴의 넓이의 최솟값은 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{2} + \frac{4}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2} \right) \times \frac{1}{2} \times 8$$\displaystyle = \left( \sqrt{a} + \frac{4}{\sqrt{a}} \right) \times 4$ $\displaystyle \geq 2 \sqrt{\sqrt{a} \times \frac{4}{\sqrt{a}}} \cdot 4$$= 16$ (단, 등호는 $\displaystyle \sqrt{a} = \frac{4}{\sqrt{a}}$일 때 성립한다.)