접선 조건 삼차함수

[출제의도] 다항함수의 미분을 활용하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. 등식 $f \left( a \right) + 1 = f' ( a ) \left( a - t \right)$ …… ㉠ 에서 $- 1 = f' \left( a \right) \left( t - a \right) + f \left( a \right)$이다. 이는 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( a , f \left( a \right) \right)$에서의 접선 $y = f' \left( a \right) \left( x - a \right) + f \left( a \right)$가 점 $\mathrm{P}$$\left( t , - 1 \right)$을 지남을 뜻한다. 즉 $\mathrm{P}$$\left( t , - 1 \right)$에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선의 접점이 $\left( a , f \left( a \right) \right)$이다. 조건에서 등식 ㉠을 만족시키는 실수 $a$의 값이 $6$ 하나뿐이므로 $f ( 6 ) + 1 = f' ( 6 ) ( 6 - t )$ …… ㉡ $- 2 < t < k$인 모든 실수 $t$에 대하여 ㉡이 성립하므로 $f' ( 6 ) = 0$, $f ( 6 ) = \mathit{-} 1$ 즉 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 점 $\mathrm{A} \left( 6 , - 1 \right)$에서 직선 $y = \mathit{-} 1$에 접하므로 $f ( x ) = \left( x - 6 \right) ^{2} ( x - m ) - 1$($m$은 상수) …… ㉢ 따라서 두 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( t , - 1 \right)}$, $\mathrm{A} \mathit{\left( 6 , - 1 \right)}$에 대하여 ㉢을 만족시키는 삼차함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같이 $3$가지이다.

[그림1] $m = 6$일 때

[그림2] $m > 6$일 때

[그림3] $m < 6$일 때

[그림1], [그림2]에서는 $6$보다 작은 모든 실수 $t$에 대하여 등식 ㉠을 만족시키는 $6$이 아닌 실수 $a$가 존재하므로 조건을 만족시키지 않는다. [그림3]에서 $k > \mathit{-} 2$인 상수 $k$에 대하여 등식 ㉠을 만족시키는 실수 $a$의 값이 $6$ 하나뿐이기 위한 필요충분조건이 $- 2 < t < k$이려면 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 점 $\left( - 2 , - 1 \right)$을 지나야 한다. 즉, $m = \mathit{-} 2$ $f \left( x \right) = \left( x - 6 \right) ^{2} \left( x + 2 \right) - 1$이므로 $f ( 8 ) = \left( 8 - 6 \right) ^{2} \left( 8 + 2 \right) - 1$$= 39$ [참고] $f ( x ) = ( x - 6 ) ^{2} ( x - m ) - 1$에서 $f' ( x ) = 2 ( x - 6 ) ( x - m ) + ( x - 6 ) ^{2}$$= ( x - 6 ) ( 3 x - 2 m - 6 )$ 이므로 등식 $f ( a ) + 1 = f' ( a ) ( a - t )$에서 $( a - 6 ) ^{2} ( a - m ) = ( a - 6 ) ( 3 a - 2 m - 6 ) ( a - t )$ $( a - 6 ) \left\{ 2 a ^{2} - ( 3 t + m ) a + 2 mt + 6 t - 6 m \right\} = 0$ $a = 6$ 또는 $2 a ^{2} - ( 3 t + m ) a + 2 mt + 6 t - 6 m = 0$ …… ㉠ 이 등식을 만족시키는 실수 $a$의 값이 $6$ 하나뿐이려면 $a$에 대한 이차방정식 ㉠이 중근 $6$을 가지거나 실근을 갖지 않아야 한다. (ⅰ) ㉠이 중근 $6$을 가지는 경우 $2 a ^{2} - ( 3 t + m ) a + 2 mt + 6 t - 6 m = 2 \left( a - 6 \right) ^{2}$ 에서 $t = 6$, $m = 6$ 따라서 조건을 만족시키는 실수 $t$는 $6$ 하나뿐이므로 $- 2 < t < k$라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) ㉠이 실근을 갖지 않는 경우 ㉠의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= ( 3 t + m ) ^{2} - 8 ( 2 mt + 6 t - 6 m )$$= ( t - m ) ( 9 t - m - 48 ) < 0$ …… ㉡ ① $\displaystyle m < \frac{m + 48}{9}$, 즉 $m < 6$이면 부등식 ㉡의 해는 $\displaystyle m < t < \frac{m + 48}{9}$ 이때 실수 $t$의 범위가 $- 2 < t < k$이어야 하므로 $m = \mathit{-} 2$, $\displaystyle k = \frac{46}{9}$ ② $\displaystyle m > \frac{m + 48}{9}$, 즉 $m > 6$이면 부등식 ㉡의 해는 $\displaystyle \frac{m + 48}{9} < t < m$ 이때 $\displaystyle \frac{m + 48}{9} > 6$이므로 조건을 만족시키지 않는다. 위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 $m = \mathit{-} 2$, $\displaystyle k = \frac{46}{9}$이므로 $f ( x ) = ( x - 6 ) ^{2} ( x + 2 ) - 1$