접선 기울기와 적분

곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( t , f \left( t \right) \right)$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{t} + 4 e ^{2 t}$이므로 $\displaystyle f' \left( t \right) = \frac{1}{t} + 4 e ^{2 t}$ $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{} ^{} {f' \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{} ^{} {\left( \frac{1}{t} + 4 e ^{2 t} \right) dt}$ $= \ln \left| t \right| + 2 e ^{2 t} + C$ ($C$는 상수) $f \left( 1 \right) = 2 e ^{2} + 1$이므로 $\ln 1 + 2 e ^{2} + C = 2 e ^{2} + 1$, $C = 1$ $\therefore f \left( e \right) = \ln \left| e \right| + 2 e ^{2 e} + 1 = 2 e ^{2 e} + 2$