미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

접선 기울기로 함수

문제

구간 (0,∞)( 0 , \infty )에서 정의된 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 있다. 모든 양수 tt에 대하여 곡선 y=f(x)y = f ( x )위의 점 (t,f(t))( t , f ( t ) )에서의 접선의 기울기는 ln⁡tt2\displaystyle \frac{\ln t}{t ^{2}}이다. f(1)=0f ( 1 ) = 0일 때, f(e)f ( e )의 값은? [3점] ①e−23e\displaystyle \frac{e - 2}{3 e}②e−22e\displaystyle \frac{e - 2}{2 e}③e−13e\displaystyle \frac{e - 1}{3 e}④e−2e\displaystyle \frac{e - 2}{e}⑤e−1e\displaystyle \frac{e - 1}{e}

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④

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해설

f′(t)=ln⁡tt2\displaystyle f' \left( t \right) = \frac{\ln t}{t ^{2}}이므로 부분적분을 이용하면 f(x)f \left( x \right)=∫ln⁡xx2dx\displaystyle = \int \frac{\ln x}{x ^{2}} dx =ln⁡x×(−1x)−∫1x×(−1x)dx\displaystyle = \ln x \times \left( - \frac{1}{x} \right) - \int \frac{1}{x} \times \left( - \frac{1}{x} \right) dx =−ln⁡xx−1x+C\displaystyle = \mathit{-} \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C (단, CC는 적분상수) f(1)=0f \left( 1 \right) = 0에서 f(1)=−1+C=0f \left( 1 \right) = \mathit{-} 1 + C = 0 ∴\thereforeC=1C = 1 따라서 f(x)=−ln⁡xx−1x+1\displaystyle f \left( x \right) = \mathit{-} \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + 1이므로 f(e)=−2e+1=e−2e\displaystyle f \left( e \right) = \mathit{-} \frac{2}{e} + 1 = \frac{e - 2}{e}

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#부분적분#부정적분

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