접선 길이 합 최솟값

[출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 두 접선과 한 선분으로 이루어진 도형 문제를 해결한다. $\displaystyle \mathrm{A} \left( \mathit{\alpha} , - \frac{2}{\alpha} \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \mathit{\beta} , - \frac{2}{\beta} \right)$라 하자. $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{2}{x}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x ^{2}}$ 점 $\mathrm{A}$를 지나는 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{2}{\alpha ^{2}} \left( x - \alpha \right) - \frac{2}{\alpha}$ 즉, $\displaystyle y = \frac{2}{\alpha ^{2}} x - \frac{4}{\alpha}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 같은 방법으로 점 $\mathrm{B}$를 지나는 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{2}{\beta ^{2}} x - \frac{4}{\beta}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡이 모두 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , 2 a \right)$를 지나므로 $\displaystyle 2 a = \frac{2 a}{\alpha ^{2}} - \frac{4}{\alpha}$, $\displaystyle 2 a = \frac{2 a}{\beta ^{2}} - \frac{4}{\beta}$ 즉, $a \alpha ^{2} + 2 \alpha - a = 0$, $a \beta ^{2} + 2 \beta - a = 0$이므로 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $ax ^{2} + 2 x - a = 0$의 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서 $\displaystyle \alpha + \beta = \mathit{-} \frac{2}{a}$, $\alpha \beta = \mathit{-} 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} + \mathrm{\overline{PB}} ^{2}$ $\displaystyle = \left( a - \alpha \right) ^{2} + \left( 2 a + \frac{2}{\alpha} \right) ^{2} + \left( a - \beta \right) ^{2} + \left( 2 a + \frac{2}{\beta} \right) ^{2}$$\displaystyle = 10 a ^{2} - 2 a \left( \alpha + \beta \right) + \left( \alpha ^{2} + \beta ^{2} \right) + 8 a \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) + 4 \left( \frac{1}{\alpha ^{2}} + \frac{1}{\beta ^{2}} \right)$ $= 10 a ^{2} + 4 + \left\{ \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta \right\}$$\displaystyle + 8 a \times \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} + 4 \times \frac{\left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta}{\left( \alpha \beta \right) ^{2}}$ $\displaystyle = 10 a ^{2} + \frac{20}{a ^{2}} + 30$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2}$$\displaystyle = \left( \alpha - \beta \right) ^{2} + \left( - \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} \right) ^{2}$ $= 5 \left( \alpha - \beta \right) ^{2}$ $= 5 \left\{ \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta \right\}$ $\displaystyle = 5 \left( \frac{4}{a ^{2}} + 4 \right)$ $\displaystyle = \frac{20}{a ^{2}} + 20$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} + \mathrm{\overline{PB}} ^{2} + \mathrm{\overline{AB}} ^{2}$$\displaystyle = 10 a ^{2} + \frac{40}{a ^{2}} + 50$ $a ^{2} = t \left( t > 0 \right)$으로 놓고 $\displaystyle f \left( t \right) = 10 t + \frac{40}{t} + 50$이라 하면 $\displaystyle f' \left( t \right) = 10 - \frac{40}{t ^{2}}$$\displaystyle = \frac{10 \left( t ^{2} - 4 \right)}{t ^{2}}$ 함수 $f \left( t \right)$의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

함수 $f \left( t \right)$는 $t = 2$에서 최솟값 $90$을 갖는다. $a ^{2} = 2$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{2}$에서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \mathit{\sqrt{2}} , 2 \sqrt{2} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} + \mathrm{\overline{PB}} ^{2}$$\displaystyle + \mathrm{\overline{AB}} ^{2}$의 최솟값은 $90$이다. [다른 풀이] 절대부등식을 이용하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} + \mathrm{\overline{PB}} ^{2} + \mathrm{\overline{AB}} ^{2}$$\displaystyle = 10 a ^{2} + \frac{40}{a ^{2}} + 50$ $\displaystyle \geq 2 \sqrt{10 a ^{2} \times \frac{40}{a ^{2}}} + 50$ $= 2 \times 20 + 50$ $= 90$ (단, 등호는 $\displaystyle 10 a ^{2} = \frac{40}{a ^{2}}$ 즉, $\displaystyle a = \sqrt{2}$일 때 성립한다.)