미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

접선 개수 합성함수

문제

좌표평면 위의 점 (0,t)( 0 , t )를 지나고 곡선 y=x3−ax2+3x−5y = x ^{3} - ax ^{2} + 3 x - 5 (\left( \right.aa는 자연수)) 에 접하는 서로 다른 모든 직선의 개수를 f(t)f \left( t \right)라 할 때, 함수 f(t)f \left( t \right)에 대하여 합성함수 g(t)=(f∘f)(t)g \left( t \right) = \left( f \circ f \right) \left( t \right)라 하자. 다음 조건을 만족시키는 aa의 최솟값을 mm이라 할 때, m+g(m)m + g \left( m \right)의 값은? [4점]

(가) 모든 실수 tt에 대하여 g(t)>1g \left( t \right) > 1이다. (나) 함수 g(t)g \left( t \right)의 치역의 원소의 개수는 11이다.

①44②66③88④1010⑤1212

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④

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해설

[출제의도] 접선의 방정식과 합성함수를 활용하여 문제해결하기 점 (0,t)\left( 0 , t \right)를 지나는 직선이 곡선 y=x3−ax2+3x−5y = x ^{3} - ax ^{2} + 3 x - 5와 접할 때의 접점을 (k,k3−ak2+3k−5)\left( k , k ^{3} - ak ^{2} + 3 k - 5 \right)라 하자. y′=3x2−2ax+3y' = 3 x ^{2} - 2 ax + 3이므로 접선의 방정식은 y=(3k2−2ak+3)(x−k)+k3−ak2+3k−5y = \left( 3 k ^{2} - 2 ak + 3 \right) \left( x - k \right) + k ^{3} - ak ^{2} + 3 k - 5 이고, 이 접선이 점 (0,t)\left( 0 , t \right)를 지나므로 t=−2k3+ak2−5t = - 2 k ^{3} + ak ^{2} - 5 f(t)f ( t )는 곡선 y=−2k3+ak2−5y = - 2 k ^{3} + ak ^{2} - 5와 직선 y=ty = t의 교점의 개수이다. h(k)=−2k3+ak2−5h ( k ) = - 2 k ^{3} + ak ^{2} - 5라 하면, h′(k)=−6k2+2akh' \left( k \right) = - 6 k ^{2} + 2 ak=−2k(3k−a)= - 2 k ( 3 k - a ) h′(0)=h′(a3)=0\displaystyle h' ( 0 ) = h' \left( \frac{a}{3} \right) = 0 h(0)=−5h ( 0 ) = - 5, h(a3)=a327−5\displaystyle h \left( \frac{a}{3} \right) = \frac{a ^{3}}{27} - 5

k=a3\displaystyle k = \frac{a}{3} y=h(k)y = h \left( k \right)

f(t)={\displaystyle f \left( t \right) = {\begin{cases} \begin{aligned} \\ \\ \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \\ \end{aligned} & \\ & \end{cases}}11(t<−5)\left( t < - 5 \right)
22(t=−5)\left( t = - 5 \right)
33(−5<t<a327−5)\displaystyle \left( - 5 < t < \frac{a ^{3}}{27} - 5 \right)
22(t=a327−5)\displaystyle \left( t = \frac{a ^{3}}{27} - 5 \right)
11(t>a327−5)\displaystyle \left( t > \frac{a ^{3}}{27} - 5 \right)

g(t)=f(f(t))={\displaystyle g \left( t \right) = f \left( f \left( t \right) \right) = {\begin{cases} \begin{aligned} \\ \\ \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \\ \end{aligned} & \\ & \end{cases}}f(1)f \left( 1 \right)(t<−5)\left( t < - 5 \right)
f(2)f \left( 2 \right)(t=−5)\left( t = - 5 \right)
f(3)f \left( 3 \right)(−5<t<a327−5)\displaystyle \left( - 5 < t < \frac{a ^{3}}{27} - 5 \right)
f(2)f \left( 2 \right)(t=a327−5)\displaystyle \left( t = \frac{a ^{3}}{27} - 5 \right)
f(1)f \left( 1 \right)(t>a327−5)\displaystyle \left( t > \frac{a ^{3}}{27} - 5 \right)

함수 g(t)g \left( t \right)에서 (ⅰ) a327−5<3\displaystyle \frac{a ^{3}}{27} - 5 < 3인 경우 −5<t<a327−5\displaystyle - 5 < t < \frac{a ^{3}}{27} - 5일 때, g(t)=f(3)=1g \left( t \right) = f \left( 3 \right) = 1이므로 조건(가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) a327−5=3\displaystyle \frac{a ^{3}}{27} - 5 = 3인 경우 t<−5t < - 5, t>a327−5\displaystyle t > \frac{a ^{3}}{27} - 5일 때, g(t)=f(1)=3g \left( t \right) = f \left( 1 \right) = 3 t=−5t = - 5, a327−5\displaystyle \frac{a ^{3}}{27} - 5일 때, g(t)=f(2)=3g \left( t \right) = f \left( 2 \right) = 3 −5<t<a327−5\displaystyle - 5 < t < \frac{a ^{3}}{27} - 5일 때, g(t)=f(3)=2g \left( t \right) = f \left( 3 \right) = 2 함수 g(t)g \left( t \right)의 치역의 원소의 개수가 22이므로 조건(나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) a327−5>3\displaystyle \frac{a ^{3}}{27} - 5 > 3인 경우 실수 전체의 집합에서 f(t)≤3<a327−5\displaystyle f \left( t \right) \leq 3 < \frac{a ^{3}}{27} - 5이므로 g(t)=3g \left( t \right) = 3이다. 이는 조건(가), (나)를 모두 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 aa의 범위는 a3>8×27=63a ^{3} > 8 \times 27 = 6 ^{3} 자연수 aa의 최솟값 m=7m = 7, g(m)=f(f(7))=3g \left( m \right) = f \left( f \left( 7 \right) \right) = 3 따라서 m+g(m)=7+3=10m + g \left( m \right) = 7 + 3 = 10

태그

#접선의 개수#삼차함수#합성함수

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