접점 함수 도함수

[출제의도] 곡선의 접선 및 합성함수의 미분법을 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있는가? 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{\ln x}{x}$에서 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{1 - \ln x}{x ^{2}}$ $f' ( x ) = t$에서 $\displaystyle \frac{1 - \ln x}{x ^{2}} = t$ 이때, $g ( t ) = x$이므로 $\displaystyle g \left( \frac{1 - \ln x}{x ^{2}} \right) = x$ $\cdots \text{㉠}$ 한편, 원점에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선을 $l$이라 하고, 접선 $l$과 곡선 $y = f ( x )$의 접점의 좌표를 $\left( x _{1} , f ( x _{1} ) \right)$이라 하면 접선 $l$의 방정식은 $y - f ( x _{1} ) = f' ( x _{1} ) ( x - x _{1} )$ 즉, $\displaystyle y - \frac{\ln x _{1}}{x _{1}} = \frac{1 - \ln x _{1}}{\left( x _{1} \right) ^{2}} \left( x - x _{1} \right)$ 이 직선이 원점을 지나므로 $\displaystyle 0 - \frac{\ln x _{1}}{x _{1}} = \frac{1 - \ln x _{1}}{\left( x _{1} \right) ^{2}} \left( 0 - x _{1} \right)$ $\displaystyle \ln x _{1} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle x _{1} = \sqrt{e}$ 따라서 $\displaystyle a = f' \left( \sqrt{e} \right) = \frac{1 - \ln \sqrt{e}}{\left( \sqrt{e} \right) ^{2}} = \frac{1}{2 e}$ $\text{㉠}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle g' \left( \frac{1 - \ln x}{x ^{2}} \right) \times \frac{2 \ln x - 3}{x ^{3}} = 1$이므로 $\displaystyle g' \left( \frac{1 - \ln x}{x ^{2}} \right) = \frac{x ^{3}}{2 \ln x - 3}$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉡}$의 양변에 $\displaystyle x = \sqrt{e}$대입하면 $\displaystyle g' \left( \frac{1}{2 e} \right) = \frac{e \sqrt{e}}{2}$ 즉, $\displaystyle g' ( a ) = g' \left( \frac{1}{2 e} \right) = - \frac{e \sqrt{e}}{2}$ 따라서 $\displaystyle a \times g' ( a ) = \frac{1}{2 e} \times \left( - \frac{e \sqrt{e}}{2} \right)$$\displaystyle = - \frac{\sqrt{e}}{4}$