미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

접하는 원 중심

문제

[11∼12] 좌표평면에서 곡선 $y = x ^{2}$ 위의 점 ${\mathrm{P}} _{n} ( n , n ^{2} )$ 과 중심이 $x$ 축 위에 있는 원 $C _{n}$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (단, $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ 이다.)

㈎ 곡선 $y = x ^{2}$ 과 원 $C _{n}$ 은 점 ${\mathrm{P}} _{n}$ 에서 만난다. ㈏ 곡선 $y = x ^{2}$ 과 원 $C _{n}$ 은 점 ${\mathrm{P}} _{n}$ 에서 공통인 접선을 갖는다.

다음 두 물음에 답하여라.

원 $C _{1}$ 의 중심의 $x$ 좌표는? [3점] ① $2$ ② $\displaystyle \frac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\displaystyle \frac{7}{2}$ ⑤ $4$

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③

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해설

원 $C _{1}$ 의 중심을 ${\mathrm{C}} _{1}$ $( a , 0 )$ 이라 하면 직선 ${\mathrm{P}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}$ 은 점 ${\mathrm{P}} _{1}$ $( 1 , 1 )$ 에서의 곡선 $y = x ^{2}$ 의 접선에 수직이다. 점 ${\mathrm{P}} _{1}$ 에서의 곡선 $y = x ^{2}$ 의 접선의 기울기는 $2$ 이므로 $\displaystyle 2 \times \frac{1 - 0}{1 - a} = - 1$ ∴ $a = 3$

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