접하는 세 원 넓이

[출제의도] 등비수열 이해하기

$\displaystyle y = \sqrt{3} x$

세 원 $C _{1} , C _{2} , C _{3}$의 반지름의 길이는 이 순서대로 등비수열을 이루므로 세 원 $C _{1} , C _{2} , C _{3}$의 반지름의 길이를 각각 $a , ar , ar ^{2}$이라고 하자. 원 $C _{1}$의 중심과 원 $C _{3}$의 중심 사이의 거리는 $12$이므로 $a + 2 ar + ar ^{2} = 12$ ……㉠ 이다. 세 원 $C _{1} , C _{2} , C _{3}$의 중심을 각각 $\mathrm{O} _{1}$, $\mathrm{O} _{2}$, $\mathrm{O} _{3}$라 하자. 점 $\mathrm{O} _{3}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{O} _{1}$에서 선분 $\mathrm{O} _{3} H$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$라고 하면 $\angle \mathrm{O} _{3} O _{1} G = 30 ^\circ$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} O _{3}}} = 2 {\overline{\mathrm{O} _{3} G}}$이다. 따라서 $a \left( 1 + 2 r + r ^{2} \right) = 2 a \left( r ^{2} - 1 \right)$ ……㉡ 이다. ㉡에서 $r = 3$이고 이것을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle a = \frac{3}{4}$이다. 따라서 세 원의 넓이의 합은 $\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right) ^{2} \pi + \left( \frac{9}{4} \right) ^{2} \pi + \left( \frac{27}{4} \right) ^{2} \pi = \frac{819}{16} \pi$ 이다. 그러므로 $p + q = 835$이다.