기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육각형 쌍곡선

문제

한 변의 길이가 $2$ 인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$ 와 쌍곡선 $H$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 쌍곡선 $H$ 의 초점은 점 $\mathrm{A}$ 와 점 $\mathrm{D}$ 이다. (나) 쌍곡선 $H$ 의 점근선은 직선 $\mathrm{BE}$ 와 직선 $\mathrm{CF}$ 이다.

쌍곡선 $H$ 와 변 $\mathrm{AB}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{P}$ 라 할 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{DP}} - \overline{AP}$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \sqrt{2}$ ④ $\displaystyle \sqrt{3}$ ⑤ $2$

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⑤

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문제이다. 두 점근선의 교점을 원점으로 하고, 두 초점이 $x$ 축 위에 있는 좌표평면에서 쌍곡선 $H$ 의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ( $a > 0 , b > 0$ )이라 하자. 두 초점의 좌표가 $\mathrm{A} ( 2 , 0 )$ , $\mathrm{D} ( - 2 , 0 )$ 이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 2 ^{2}$ 직선 $\mathrm{BE}$ 가 점근선이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} =$ $\displaystyle \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DP}} - \overline{AP}$ $= 2 a = 2$

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