대수삼각함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정육각형 내분 넓이비

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 33인 정육각형 F1F _{1} 의 각 변을 2:12 : 1 로 내분하는 점들을 이어 정육각형 F2F _{2} 를 만들었다. F1F _{1}, F2F _{2} 의 넓이를 각각 S1S _{1}, S2S _{2} 라 할 때, S2S1\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} 의 값은? [3점]

①13\displaystyle \frac{1}{3}②49\displaystyle \frac{4}{9}③59\displaystyle \frac{5}{9}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤79\displaystyle \frac{7}{9}

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⑤

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해설

[출제의도] 제이코사인 법칙을 이용한 두 정육각형의 넓이의 비 구하기

F2F _{2}의 한변의 길이를 bb라 할 때, 정육각형의 한 내각이 120∘120 ^\circ이므로 어두운 부분의 삼각형에서 제이 코사인법칙을 이용하여 b2=22+12−2⋅2⋅1⋅(−12)=7\displaystyle b ^{2} = 2 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) = 7 S2S1=34⋅72⋅634⋅32⋅6=79\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot {\sqrt{7}} ^{2} \cdot 6}{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 ^{2} \cdot 6} = \frac{7}{9} ∴ S2S1=79\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{7}{9} (별해) F1,F2F _{1} , F _{2}가 닮은 육각형이다. 변의 길이의 비는 3:7\displaystyle 3 : \sqrt{7}이므로 넓이의 비는 9:79 : 7이다. ∴ S2S1=79\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{7}{9}

태그

#코사인법칙#닮음#넓이비

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