기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육각형 벡터 내적

문제

한 변의 길이가 4인 정육각형 ABCDEFABCDEF가 있다. 정육각형 ABCDEFABCDEF의 내부 또는 변 위의 점 PP가 (PF⃗+PE⃗)∙(PD⃗+PE⃗)=0\left( {\vec{PF}} + {\vec{PE}} \right) \bullet \left( {\vec{PD}} + {\vec{PE}} \right) = 0 을 만족시킨다. ∣FP⃗∣\left| {\vec{FP}} \right|의 값이 최대와 최소가 되도록 하는 점 PP를 각각 P1,P2P _{1} , P _{2}라 하자. ∠P1FP2=θ\angle P _{1} FP _{2} = \theta라 할 때, tan⁡θ=ba3\displaystyle \tan \theta = \frac{b}{a} \sqrt{3} 이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

변 EF,DE\mathrm{EF} , DE의 중점을 각각 M,N\mathrm{M} , N이라 하면 (PF⃗+PE⃗)∙(PD⃗+PE⃗)=2PM⃗∙2PN⃗=0\left( {\vec{\mathrm{PF}}} + {\vec{\mathrm{PE}}} \right) \bullet \left( {\vec{\mathrm{PD}}} + {\vec{\mathrm{PE}}} \right) = 2 {\vec{\mathrm{PM}}} \bullet 2 {\vec{\mathrm{PN}}} = 0 이므로 점 P\mathrm{P}는 M,N\mathrm{M} , N의 중점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 반지름이 OM\mathrm{OM}인 반원 위의 점이다. ∣FP⃗∣2\left| {\vec{\mathrm{FP}}} \right| ^{2}=∣OP⃗−OF⃗∣2= \left| {\vec{\mathrm{OP}}} - {\vec{\mathrm{OF}}} \right| ^{2}=∣OP⃗∣2+∣OF⃗∣2−2OP⃗∙OF⃗= \left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{OF}}} \right| ^{2} - 2 {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OF}}}이고 OP⃗∙OF⃗=∣OP⃗∣∣OF⃗∣cos⁡(∠POF){\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OF}}} = \left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{OF}}} \right| \cos \left( \angle \mathrm{POF} \right)이므로 ∠POF\angle \mathrm{POF}크기가 최소일 때 ∣FP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{FP}}} \right|값이 최소이고, ∠POF\angle \mathrm{POF}크기가 최대일 때 ∣FP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{FP}}} \right|값이 최대이다. 즉,, ∣FP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{FP}}} \right|값이 최소가 될 때는 선분 FO\mathrm{FO}와 반원의 교점에 점 P\mathrm{P}가 있을 때이고, 점 P\mathrm{P}가 변 DE\mathrm{DE}의 중점 N\mathrm{N}에 있을 때 ∣FP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{FP}}} \right|값이 최대이다. 오른쪽 그림과 같이 점 O\mathrm{O}에서 선분 DF\mathrm{DF}에 내린 수선의 발을 H2\mathrm{H} _{2},, 점 N\mathrm{N}에서 선분 DF\mathrm{DF}에 내린 수선의 발을 H1\mathrm{H} _{1}이라 하자. ∠PFH2=α,\angle \mathrm{PFH} _{2} = \alpha ,∠NFH1=β\angle \mathrm{NFH} _{1} = \beta이라 하면 tan⁡α=OH2‾FH2‾=123\displaystyle \tan \alpha = \frac{{\overline{\mathrm{OH} _{2}}}}{{\overline{\mathrm{FH} _{2}}}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}},, tan⁡β=NH1‾FH1‾=133\displaystyle \tan \beta = \frac{{\overline{\mathrm{NH} _{1}}}}{{\overline{\mathrm{FH} _{1}}}} = \frac{1}{3 \sqrt{3}} 이다. θ=α−β\theta = \alpha - \beta이므로 tan⁡θ=tan⁡(α−β)\tan \theta = \tan \left( \alpha - \beta \right)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}=123−1331+123×133\displaystyle = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{2 \sqrt{3}} \times \frac{1}{3 \sqrt{3}}} =1193\displaystyle = \frac{1}{19} \sqrt{3} 따라서 a+b=20a + b = 20

태그

#벡터의 내적#자취#탄젠트 덧셈정리

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