공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정수해 10개인 p의 범위

문제

[13~14] $0$ 이 아닌 실수 ${p}$ 에 대하여 이차함수 ${{f ( x ) = x ^{2} + px + p}}$ 의 그래프의 꼭짓점을 ${{\mathrm{A}}}$ , 이 이차함수의 그래프가 ${y}$ 축과 만나는 점을 ${\mathrm{B}}$ 라 할 때, 두 점 ${\mathrm{A}}$ , ${{\mathrm{B}}}$ 를 지나는 직선을 ${l}$ 이라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

$f ( x ) = x ^{2} + px + p$

직선 $l$ 의 방정식을 $y = g ( x )$ 라 하자. 부등식 $f ( x ) - g ( x ) \leq 0$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $10$ 이 되도록 하는 정수 $p$ 의 최댓값을 M , 최솟값을 m 이라 할 때, M-m 의 값은? [4점] ① $\begin{aligned} 32 \\ \end{aligned}$ ② $34$ ③ $36$ ④ $38$ ⑤ $40$

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④

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해설

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기 직선 $l$ 의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{p}{2} x + p$ 이므로 $\displaystyle g ( x ) = \frac{p}{2} x + p$ 이다. 부등식 $\displaystyle f ( x ) - g ( x ) = x ^{2} + \frac{p}{2} x \leq 0$ 에 대하여 (ⅰ) $p > 0$ 인 경우 $\displaystyle - \frac{p}{2} \leq x \leq 0$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $10$ 이 되도록 하는 $p$ 의 값의 범위는 $\displaystyle - 10 < - \frac{p}{2} \leq - 9$ 에서 $18 \leq p < 20$ 이므로 정수 $p$ 의 값은 $18$ , $19$ (ⅱ) $p < 0$ 인 경우 $\displaystyle 0 \leq x \leq - \frac{p}{2}$ 를 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $10$ 이 되도록 하는 $p$ 의 값의 범위는 $\displaystyle 9 \leq - \frac{p}{2} < 10$ 에서 $- 20 < p \leq - 18$ 이므로 정수 $p$ 의 값은 $- 18$ , $- 19$ (ⅰ), (ⅱ)에서 정수 $p$ 의 최댓값 M =19, 최솟값 m = -19 따라서 M – m =38

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