정수근 이차방정식

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기 풀이1) 주어진 이차방정식에서 $\displaystyle x = \frac{- ( m + 1 ) \pm \sqrt{D}}{2}$ $D = \mathit{(} m + 1 ) ^{2} - 4 ( 2 m - 1 )$$\mathrm{=} \mathit{m} ^{2} - 6 m + 5$ 두 근이 정수가 되기 위해서는 $D$가 제곱수이거나 $0$ $D$가 제곱수가 아니므로 $D = 0$ 따라서 $m = 1$또는 $m = 5$ $m = 1$일 때, $x ^{2} + 2 x + 1 = 0$이므로 두 근은 정수 $m = 5$일 때, $x ^{2} + 6 x + 9 = 0$이므로 두 근은 정수 따라서 모든 정수 $m$의 값의 합은 $6$ 풀이2) 이차방정식의 두 개의 정수근을 $\alpha , \beta$라 하면 $\alpha + \beta = - m - 1 \cdots \cdots \text{㉠}$ $\alpha \beta = 2 m - 1 \cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$에서 $m = - \alpha - \beta - 1$을 $\text{㉡}$에 대입하면 $\alpha \beta = 2 \left( - \alpha - \beta - 1 \right) - 1$에서 $\left( \alpha + 2 \right) \left( \beta + 2 \right) = 1$ $\alpha , \beta$는 정수이므로 $\alpha + 2 = 1 , \beta + 2 = 1$ 또는 $\alpha + 2 = - 1 , \beta + 2 = - 1$ 그러므로 $\alpha = \beta = - 1$일 때, $m = 1$ $\alpha = \beta = - 3$일 때, $m = 5$ 따라서 모든 $m$의 값의 합은 $6$