공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정수에 따른 근의 종류 분류

문제

정수 $n$ 에 대하여 $x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} + nx + n = 0$ 의 근을 판별할 때, 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 정수 $n$ 의 개수를 $p$ , 중근을 갖도록 하는 모든 정수 $n$ 의 값의 합을 $q$ 라 하자. $p + q$ 의 값은? [4점] ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$

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③

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해설

판별식을 $D$ 라 하면 $D = n ^{2} - 4 n = n ( n - 4 )$ (ⅰ) 서로 다른 두 허근: $D < 0$ 에서 $n ( n - 4 ) < 0$ , 즉 $0 < n < 4$ 정수 $n = 1 , 2 , 3$ 이므로 $p = 3$ (ⅱ) 중근: $D = 0$ 에서 $n = 0$ 또는 $n = 4$ 이므로 $q = 0 + 4 = 4$ (ⅲ) $n < 0$ 또는 $n > 4$ 이면 $D > 0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. 따라서 $p + q = 3 + 4 = 7$ 이다. ③

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