기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사면체·사각뿔 벡터 각

문제

모든 모서리의 길이가 22인 정사면체 OABC\mathrm{OABC}와 정사각뿔 O′−DCEF\mathrm{O}' - DCEF를 아래 그림과 같이 두 모서리 BC\mathrm{BC}와 CE\mathrm{CE}가 한 직선 위에 오도록 나란히 붙여 놓았다고 하자. 두 벡터 OC⃗\vec{\mathrm{OC}}와 OC′⃗\vec{\mathrm{OC}'}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은?(단, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 사각형 DCEF\mathrm{DCEF}는 한 평면 위에 있다.) [3점]

①312−14\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{4}②34−12\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}③5123−14\displaystyle \frac{5}{12} \sqrt{3} - \frac{1}{4}④7123−12\displaystyle \frac{7}{12} \sqrt{3} - \frac{1}{2}⑤343−14\displaystyle \frac{3}{4} \sqrt{3} - \frac{1}{4}

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③

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해설

[출제의도] 공간도형의 성질을 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 C\mathrm{C}를 원점으로하고 선분 BC\mathrm{BC}와 선분 CE\mathrm{CE}를 연결한 선분을 xx축으로 선분 CD\mathrm{CD}를 yy축, 점 C\mathrm{C}를 지나며 평면 DCEF\mathrm{DCEF}에 수직인 직선을 zz축으로 하는 좌표공간을 정하자. 점 O\mathrm{O}에서 xyxy평면에 내린 수선의 발을 G\mathrm{G}라 하면 G\mathrm{G}는 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 무게중심이 된다. 따라서 G\mathrm{G}의 좌표는 (−1,33,0)\displaystyle \left( - 1 , \frac{\sqrt{3}}{3} , 0 \right)이다. 또한, O′\mathrm{O}'에서 xyxy평면에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 H\mathrm{H}는 사각형 CEFD\mathrm{CEFD}의 대각선의 중심이 된다. 따라서 H\mathrm{H}좌표는 (1,1,0)( 1 , 1 , 0 )이다. 사면체의 높이와 정사각뿔의 높이를 구하여 O\mathrm{O}와 O′\mathrm{O}'의 좌표를 구하면 O(−1,33,263)\displaystyle \mathrm{O} \left( - 1 , \frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{2 \sqrt{6}}{3} \right), O′(1,1,2)\displaystyle \mathrm{O}' \left( 1 , 1 , \sqrt{2} \right)가 된다. ∴CO⃗=(−1,33,263),CO′⃗=(1,1,2)\displaystyle \therefore \vec{\mathrm{CO}} = \left( - 1 , \frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{2 \sqrt{6}}{3} \right) , \vec{\mathrm{CO}'} = \left( 1 , 1 , \sqrt{2} \right) cos⁡θ=CO⃗⋅CO′⃗∣CO⃗∣∣CO′⃗∣=−1×33+263×22×2=5123−14\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{\mathrm{CO}} \cdot \vec{\mathrm{CO}'}}{| \vec{\mathrm{CO}} | | \vec{\mathrm{CO}'} |} = \frac{- 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3} \times \sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{5}{12} \sqrt{3} - \frac{1}{4}

태그

#공간좌표#내적#사잇각

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