기하공간벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정사면체 벡터 내적

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 66인 정사면체 OABC\mathrm{OABC}에서 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 중점을 M\mathrm{M}, △OBC\mathrm{\triangle} OBC의 무게중심을 G\mathrm{G}라 할 때, 두 벡터 OM⃗\mathrm{\vec{OM}}, OG⃗\mathrm{\vec{OG}}의 내적의 값을 구하시오. [3점]

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해설

점 AA를 (0,0,0)( 0 , 0 , 0 ), 점 BB를 (6,0,0)( 6 , 0 , 0 ), 점 CC를 (3,33,0)\displaystyle ( 3 , 3 \sqrt{3} , 0 ), 점 OO를 (3,3,26)\displaystyle ( 3 , \sqrt{3} , 2 \sqrt{6} )라고 하면 점MM과 점GG의 좌표는 각각 (3,0,0),(4,433,263)\displaystyle ( 3 , 0 , 0 ) , \left( 4 , \frac{4 \sqrt{3}}{3} , \frac{2 \sqrt{6}}{3} \right)이고 OM⃗=(0,−3,−26)\displaystyle {\vec{OM}} = ( 0 , - \sqrt{3} , - 2 \sqrt{6} ) , OG⃗=(1,33,−463)\displaystyle {\vec{OG}} = ( 1 , \frac{\sqrt{3}}{3} , - \frac{4 \sqrt{6}}{3} )이다. ∴OM⃗∙OG⃗=15\therefore \vec{OM} \bullet \vec{OG} = 15

태그

#내적#정사면체#무게중심

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