정삼각형과 벡터 최솟값

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC} = \mathit{a}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{2} \mathit{a}$가 된다. 조건 (가)에서 정삼각형 $\mathrm{APQ}$의 한 변의 길이를 $b$라 하면 $9 b \mathrm{\vec{PQ}} = \mathit{4} a \mathrm{\vec{AB}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $a > 0$, $b > 0$이므로 ㉠에서 $9 b \mathrm{\left| \vec{PQ} \right|} = \mathit{4} a \mathrm{\left| \vec{AB} \right|}$, $9 b ^{2} = 4 a ^{2}$ $3 b = 2 a$ 그러므로 정삼각형 $\mathrm{APQ}$의 한 변의 길이는 $\displaystyle \frac{2}{3} a$다. 또 ㉠에서 $\mathrm{\vec{PQ}}$는 $\mathrm{\vec{AB}}$와 방향이 같고 크기만 $\displaystyle \frac{2}{3}$배인 벡터이고, 조건 (나)에서 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{C}$와 반대쪽에 있으므로 아래와 같이 그릴 수 있다.

벡터 $\mathrm{PQ}$와 벡터 $\mathrm{CB}$의 사잇각은 벡터 $\mathrm{AB}$와 벡터 $\mathrm{CB}$의 사잇각과 같으므로 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$다. 조건 (다)의 $\mathrm{\vec{PQ}} \bullet \vec{CB} = 24$에서 $\displaystyle \frac{2}{3} a \times \sqrt{2} a \times \cos \frac{\pi}{4} = 24$, $a ^{2} = 36$ $\therefore$ $a = 6$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\left| \mathrm{\vec{XA}} + \vec{XB} \right|$에서 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 점 $\mathrm{M}$이라 하면 $\left| \mathrm{\vec{XA}} + \vec{XB} \right|$$= 2 \left| \mathrm{\vec{XM}} \right|$ 그러므로 $\left| \mathrm{\vec{XA}} + \vec{XB} \right|$의 최솟값은 $2 \left| \mathrm{\vec{XM}} \right|$의 최솟값과 같다. 점 $\mathrm{X}$가 선분 $\mathrm{AQ}$ 위의 점이므로 위 그림에서 $\displaystyle \mathrm{\angle} QAB = \angle AQP = \frac{\pi}{3}$ ($\because$ 엇각) $\therefore$ $m$$= 2 \mathrm{\left| \vec{MX} \right|}$$\displaystyle = 2 \times \frac{1}{2} \mathit{a} \times \sin \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$\displaystyle = {3 \sqrt{3}}$ ($\because$ ㉡) $\therefore$ $\displaystyle m ^{2} = ( 3 \sqrt{3} ) ^{2} = 27$