정삼각형에서 벡터 내적의 최댓값

위의 그림과 같이 조건 (가)에 의해 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$는 각각 세 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$를 중심으로 하는 반지름 $1$인 원 위에 존재한다. 조건 (나)에서 $\mathrm{\vec{AX}}$$\mathrm{=} {\vec{PB}} + {\vec{QC}} + {\vec{RA}}$ $\mathrm{=} {\vec{PD}} + {\vec{DB}} + {\vec{QE}} + {\vec{EC}} + {\vec{RF}} + {\vec{FA}}$ $\mathrm{=} \left( {\vec{PD}} + {\vec{QE}} + {\vec{RF}} \right) + \left( {\vec{DB}} + {\vec{EC}} + {\vec{FA}} \right)$ 이때, $\mathrm{\vec{AB}} + {\vec{BC}} + {\vec{CA}} = {\vec{0}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\vec{DB}} + {\vec{EC}} + {\vec{FA}} = \frac{3}{4} \left( \mathrm{\vec{AB}} + {\vec{BC}} + {\vec{CA}} \right) = {\vec{0}}$ $\therefore$ $\mathrm{\vec{AX}}$$\mathrm{=} - \left( {\vec{DP}} + {\vec{EQ}} + {\vec{FR}} \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠에서 세 벡터 $\mathrm{\vec{DP}}$, $\mathrm{\vec{EQ}}$, $\mathrm{\vec{FR}}$는 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$를 중심으로 하고 반지름이 $1$인 원 위에 종점이 있는 벡터다. 이때, $\left| \mathrm{\vec{AX}} \right|$가 최대이려면 세 벡터 $\mathrm{\vec{DP}}$, $\mathrm{\vec{EQ}}$, $\mathrm{\vec{FR}}$가 모두 방향이 같아야 한다.

일관성을 해치지 않고 세 선분 $\mathrm{PD}$, $\mathrm{EQ}$, $\mathrm{\mathrm{FR}}$가 선분 $\mathrm{BC}$와 평행하도록 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$를 잡으면 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이와 같다. 삼각형 $\mathrm{DBE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\angle} DBE = \frac{\pi}{3}$이므로 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} ^{2} = 3 ^{2} + 1 - 2 \times 3 \cos \frac{\pi}{3} = 10 - 3 = 7$ 삼각형 $\mathrm{DBE}$는 정삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = {\overline{EF}} = {\overline{FD}} = \sqrt{7}$ $\displaystyle S = \triangle \mathrm{PQR} = \triangle DEF = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 7$ $\therefore$ $\displaystyle 16 S ^{2} = 16 \times \frac{3}{16} \times 7 ^{2} = 147$