정삼각형 외접원 중점선

[출제의도] 이차방정식을 이용하여 다항식의 연산 문제 해결하기

그림과 같이 반직선 $\mathrm{NM}$이 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{AQN}$과 삼각형 $\mathrm{PCN}$이 닮음이므로 $1 + x : x = x : 1$ 이다. 따라서 $1 + x = x ^{2}$ $x ^{2} - x - 1 = 0$ 이므로 $\displaystyle x - 1 - \frac{1}{x} = 0$에서 $\displaystyle x - \frac{1}{x} = 1$이다. 그러므로 $\displaystyle x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = \left( x - \frac{1}{x} \right) ^{2} + 2 = 3$이다. 따라서 $\displaystyle 10 \left( x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} \right) = 30$이다. [다른 풀이]

원의 성질에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{NA}} \times \mathrm{\overline{NC}} = \overline{NP} \times \mathrm{\overline{NQ}}$에서 $x \times x = 1 \times ( x + 1 )$ 이다. 따라서 $x ^{2} = x + 1$ $x ^{2} - x - 1 = 0$ 이므로 $\displaystyle x - 1 - \frac{1}{x} = 0$에서 $\displaystyle x - \frac{1}{x} = 1$이다. 그러므로 $\displaystyle x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = \left( x - \frac{1}{x} \right) ^{2} + 2 = 3$이다. 따라서 $\displaystyle 10 \left( x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} \right) = 30$이다. [다른 풀이]

그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외심을 $\mathrm{O}$, 선분 $\mathrm{MN}$의 중점을 $\mathrm{I}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \sqrt{3} \mathit{x}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{IO}} = \frac{1}{6} {\overline{AH}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \mathit{x}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{IP}} = {\overline{IN}} + {\overline{NP}} = \frac{\mathit{x}}{2} + 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = {\overline{OA}} = \frac{2}{3} {\overline{AH}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \mathit{x}$ 이다.

그림과 같이 삼각형 $\mathrm{POI}$에서 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{6} x \right) ^{2} + \left( \frac{x}{2} + 1 \right) ^{2} = \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} x \right) ^{2}$ 이고 식을 정리하면 $x ^{2} - x - 1 = 0$ 이므로 $\displaystyle x - 1 - \frac{1}{x} = 0$에서 $\displaystyle x - \frac{1}{x} = 1$이다. 그러므로 $\displaystyle x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = \left( x - \frac{1}{x} \right) ^{2} + 2 = 3$이다. 따라서 $\displaystyle 10 \left( x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} \right) = 30$이다.