대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정삼각형 넓이 등비수열

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 한 변의 길이가 rr인 정삼각형 DEF\mathrm{DEF}를 겹쳐서 점 E\mathrm{E}가 BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} 위에 오도록 정삼각형 GEC\mathrm{G} E C를 만들고, EG‾=GH‾\displaystyle \mathrm{\overline{E G}} = \overline{GH}가 되도록 점 H\mathrm{H}를 DG‾\displaystyle \mathrm{\overline{DG}} 위에 잡는다.

△GEC\mathrm{\triangle} G EC, △AGH\mathrm{\triangle} AGH, △DEF\mathrm{\triangle} DEF의 각각의 넓이가 이 순서로 공비가 rr인 등비수열을 이룰 때, rr의 값은? [4점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②22③52\displaystyle \frac{5}{2}④33⑤72\displaystyle \frac{7}{2}

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④

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해설

[출제의도] 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 공비를 구하기 EC‾=a\displaystyle {\overline{EC}} = a라고 하면 △\triangleGECG E C의 넓이=34a2\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} a ^{2} △AGH\triangle AGH의 넓이=12a(4−a)sin⁡60∘=34a(4−a)\displaystyle = \frac{1}{2} a ( 4 - a ) \sin 60 ^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4} a ( 4 - a ) △DEF\triangle DEF의 넓이=34r2\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} r ^{2} 34a(4−a)=34a2r\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} a ( 4 - a ) = \frac{\sqrt{3}}{4} a ^{2} r ⋯㉠\cdots \text{㉠} 34r2=34ar(4−a)\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} r ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} ar ( 4 - a ) ⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠\text{㉠}에서 4−a=ar4 - a = ar, ㉡\text{㉡}에서 r=a(4−a)r = a ( 4 - a ) 따라서 r=a2rr = a ^{2} r이다 ∴a=1\therefore a = 1, r=3r = 3

태그

#등비수열#도형

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