대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 내분점 선분 합

문제

한 변의 길이가 $66$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 그림과 같이 세 선분 $\mathrm{AB}$ , $\mathrm{AC}$ , $\mathrm{CB}$ 를 $5 : 1$ 로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P} _{1}$ , $\mathrm{Q} _{1}$ , $\mathrm{R} _{1}$ 이라 하고, 세 선분 $\mathrm{AP} _{1}$ , $\mathrm{AQ} _{1}$ , $\mathrm{CR} _{1}$ 을 $5 : 1$ 로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P} _{2}$ , $\mathrm{Q} _{2}$ , $\mathrm{R} _{2}$ 라 하고, 세 선분 $\mathrm{AP} _{2}$ , $\mathrm{AQ} _{2}$ , $\mathrm{CR} _{2}$ 를 $5 : 1$ 로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P} _{3}$ , $\mathrm{Q} _{3}$ , $\mathrm{R} _{3}$ 이라 하자. 이와 같은 방법으로 세 선분 $\mathrm{AP} _{\mathit{k} - 1}$ , $\mathrm{AQ} _{\mathit{k} - 1}$ , $\mathrm{CR} _{\mathit{k} - 1}$ 을 $5 : 1$ 로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P} _{\mathit{k}}$ , $\mathrm{Q} _{\mathit{k}}$ , $\mathrm{R} _{\mathit{k}}$ $( k = 4 , 5 , 6 , \cdots )$ 라 하자. 자연수 $n$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AR} _{1}$ 과 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 교점을 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ , 선분 $\mathrm{AR} _{2}$ 와 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 교점을 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ , 선분 $\mathrm{AR} _{3}$ 과 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 교점을 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$ , 선분 $\mathrm{AR} _{4}$ 와 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 교점을 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$ , 선분 $\mathrm{AR} _{5}$ 와 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 교점을 $\mathrm{E} _{\mathit{n}}$ , 선분 $\mathrm{AR} _{6}$ 과 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}$ 의 교점을 $\mathrm{F} _{\mathit{n}}$ 이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}} + {\overline{\mathrm{B} _{2} C _{2}}} + {\overline{\mathrm{C} _{3} D _{3}}} + {\overline{\mathrm{D} _{4} E _{4}}} + {\overline{\mathrm{E} _{5} F _{5}}} =$ $\displaystyle 25 - \frac{5 ^{b}}{6 ^{a}}$ 일 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ , $b$ 는 자연수이다.) [4점]

정답 보기

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}} = \mathit{a} _{n}$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}} = \mathit{b} _{n}$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}}} = \mathit{c} _{n}$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}}}} = \mathit{d} _{n}$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{E _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} = \mathit{e} _{n}$ 이라 하면, $\displaystyle b _{n} = \frac{5}{6} a _{n}$ , $\displaystyle c _{n} = \frac{5}{6} b _{n} = \left( \frac{5}{6} \right) ^{2} a _{n}$ , $\displaystyle d _{n} = \frac{5}{6} c _{n} = \left( \frac{5}{6} \right) ^{3} a _{n}$ , $\displaystyle e _{n} = \frac{5}{6} d _{n} = \left( \frac{5}{6} \right) ^{4} a _{n}$ 한편, $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{5}{6} a _{n}$ , $\displaystyle a _{1} = \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}} = 66 \times \frac{1}{6} \times \left( \frac{5}{6} \right) ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}} + {\overline{\mathrm{B} _{2} C _{2}}} + {\overline{\mathrm{C} _{3} D _{3}}} + {\overline{\mathrm{D} _{4} E _{4}}} + {\overline{\mathrm{E} _{5} F _{5}}}$ $= a _{1} + b _{2} + c _{3} + d _{4} + e _{5}$ $\displaystyle = a _{1} + \frac{5}{6} a _{2} + \left( \frac{5}{6} \right) ^{2} a _{3} + \left( \frac{5}{6} \right) ^{3} a _{4} + \left( \frac{5}{6} \right) ^{4} a _{5}$ $\displaystyle = a _{1} + \left( \frac{5}{6} \right) ^{2} a _{1} + \left( \frac{5}{6} \right) ^{4} a _{1} + \left( \frac{5}{6} \right) ^{6} a _{1} + \left( \frac{5}{6} \right) ^{8} a _{1}$ $\displaystyle = \frac{a _{1} \left\{ 1 - \left( \frac{5}{6} \right) ^{10} \right\}}{1 - \left( \frac{5}{6} \right) ^{2}} = 25 \left\{ 1 - \left( \frac{5}{6} \right) ^{10} \right\} = 25 - \frac{5 ^{12}}{6 ^{10}}$ $a = 10$ , $b = 12$ 따라서 $a + b = 22$

← 전체 문제 목록으로

정삼각형 내분점 선분 합

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기