기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정삼각형 내 벡터 내적의 최댓값

문제

한 변의 길이가 22인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 꼭짓점 A\mathrm{A}에서 변 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. 점 P\mathrm{P}가 선분 AH\mathrm{AH} 위를 움직일 때, ∣PA⃗⋅PB⃗∣\mathrm{\left| \vec{PA} \cdot \vec{PB} \right|}의 최댓값은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

∣PA⃗∙PB⃗∣=PA‾⋅PH‾\displaystyle \mathrm{|} \vec{PA} \bullet \vec{PB} | = \overline{PA} \cdot \overline{PH}이고 PA‾+PH‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PH} = \sqrt{3}이므로 산술-기하평균에 의하여 3=PA‾+PH‾≥2PA‾⋅PH‾\displaystyle \sqrt{3} = \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PH} \geq 2 \sqrt{\overline{PA} \cdot \overline{PH}} ∴PA‾⋅PH‾≤34\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{PA}} \cdot \overline{PH} \leq \frac{3}{4} 따라서 ∣PA⃗∙PB⃗∣\mathrm{|} \vec{PA} \bullet \vec{PB} |의 최댓값은 34\displaystyle \frac{3}{4}이므로 p+q=4+3=7p + q = 4 + 3 = 7

태그

#벡터의 내적#산술기하평균

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