정삼각형 무게중심 수열

그림과 같이 점 $\mathrm{A}$는 두 직선 $y = 1$과 $\displaystyle y = \sqrt{3} x$의 교점이다. 자연수 $n$에 대하여 $y = 1$ 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} _{n} = n$인 점을 ${\mathrm{B}} _{n}$, $\displaystyle y = \sqrt{3} x$ 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} _{n} = n$인 점을 ${\mathrm{C}} _{n}$이라 하자. 삼각형 ${\mathrm{A}} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}$의 무게중심의 $y$좌표를 $a _{n}$이라 할 때, $a _{n} > 6$를 만족하는 $n$의 최솟값을 구하시오. (단, ${\mathrm{B}} _{n}$, ${\mathrm{C}} _{n}$은 제 $1$사분면의 점이다.) [4점]