미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 도형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 43\displaystyle 4 \sqrt{3}인 정삼각형 ABCABC에서 선분 BCBC의 중점을 OO라 하자. 중심이 OO이고 두 변 ABAB, ACAC에 동시에 접하는 원을 그릴 때, 이 원이 두 변 ABAB, ACAC에 접하는 점을 각각 D,ED , E라 하고, 변 BCBC와 만나는 점을 각각 F,GF , G라 하자. 두 선분 ADAD, AEAE와 선분 FGFG를 지름으로 하는 위쪽 반원의 호 DEDE로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 선분 FGFG를 지름으로 하는 위쪽 반원의 호 FGFG의 3등분점 중 점 FF에 가까운 점을 HH, 점 GG에 가까운 점을 II라 하자. 두 정삼각형 HFOHFO, IOGIOG에서 각각 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 2개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

①12(33−π)13\displaystyle \frac{12 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{13}②24(33−π)13\displaystyle \frac{24 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{13}③48(33−π)13\displaystyle \frac{48 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{13}④24(33−π)5\displaystyle \frac{24 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{5}⑤48(33−π)5\displaystyle \frac{48 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{5}

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④

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해설

[출제의도] 등비급수를 이용하여 문제해결하기 그림 R1R _{1}에서

S1S _{1}은 직각삼각형 OADOAD의 넓이에서 중심각이 60∘60 ^\circ, 반지름이 3인 부채꼴의 넓이를 뺀 값의 2배이므로 S1=2×{12×33×3−π×32×60∘360∘}=3(33−π)\displaystyle S _{1} = 2 \times \left\{ \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 3 - \pi \times 3 ^{2} \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} \right\} = 3 ( 3 \sqrt{3} - \pi ) 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부이다.

정삼각형 LnL _{n}의 한 변의 길이를 lnl _{n}이라 하면 정삼각형 Ln+1L _{n + 1}의 한 변의 길이 ln+1l _{n + 1}은 ln+1=34ln\displaystyle l _{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{4} l _{n} 정삼각형 LnL _{n}과 정삼각형 Ln+1L _{n + 1}은 서로 닮음이고 닮음비는 ln:ln+1=1:34\displaystyle l _{n} : l _{n + 1} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{4} 그림 RnR _{n}과 Rn+1R _{n + 1}에서 새로 얻어진 모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가 1:34\displaystyle 1 : \frac{\sqrt{3}}{4}이므로 넓이의 비는 1:316\displaystyle 1 : \frac{3}{16}이다. 또 새로 얻어지는 모양의 도형의 개수가 2배씩 늘어나므로 SnS _{n}은 첫째항이 3(33−π)\displaystyle 3 ( 3 \sqrt{3} - \pi )이고, 공비가 316×2=38\displaystyle \frac{3}{16} \times 2 = \frac{3}{8}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. ∴lim⁡n→∞Sn=3(33−π)1−38=24(33−π)5\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \frac{3 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{24 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{5}

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#등비급수#닮음#도형

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