정삼각형 단면 부피

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 선분 $\mathrm{PQ}$를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이 $S \left( x \right)$는 $\displaystyle S \left( x \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left\{ \sqrt{x \left( x ^{2} + 1 \right) \sin \left( x ^{2} \right) ^{}} \right\} ^{2}$ 입체도형의 부피 $V$는 $\displaystyle V = \int _{0} ^{\sqrt{\pi}} {\frac{\sqrt{3}}{4} x \left( x ^{2} + 1 \right) \sin \left( x ^{2} \right) dx}$ $x ^{2} = t$라 하면 $\displaystyle 2 x \frac{dx}{dt} = 1$ $x = 0$일 때 $t = 0$, $\displaystyle x = \sqrt{\pi}$일 때 $t = \pi$이므로 $\displaystyle V = \frac{\sqrt{3}}{8} \int _{0} ^{\pi} {\left( t + 1 \right) \sin t dt}$ $u \left( t \right) = t + 1$, $v' \left( t \right) = \sin t$ $u' \left( t \right) = 1$, $v \left( t \right) = - \cos t$ $\displaystyle V = \frac{\sqrt{3}}{8} \times \left[ \begin{array}{l} - \left( t + 1 \right) \cos t \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{\pi} - \frac{\sqrt{3}}{8} \int _{0} ^{\pi} {\left( - \cos t \right) dt}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3} \left( \pi + 2 \right)}{8}$