미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 부채꼴 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}이 있다. 세 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}, C1A1\mathrm{C} _{1} A _{1}의 중점을 각각 L1\mathrm{L} _{1}, M1\mathrm{M} _{1}, N1\mathrm{N} _{1}이라 하고, 중심이 M1\mathrm{M} _{1}, 반지름의 길이가 M1N1‾\displaystyle \mathrm{\overline{M _{1} N _{1}}}이고 중심각의 크기가 60∘60 ^\circ인 부채꼴 M1N1L1\mathrm{M} _{1} N _{1} L _{1}을 그린 후 부채꼴 M1N1L1\mathrm{M} _{1} N _{1} L _{1}의 호 N1L1\mathrm{N} _{1} L _{1}과 두 선분 A1L1\mathrm{A} _{1} L _{1}, A1N1\mathrm{A} _{1} N _{1}로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 T1T _{1}이라 하자. 두 정삼각형 L1B1M1\mathrm{L} _{1} B _{1} M _{1}과 N1M1C1\mathrm{N} _{1} M _{1} C _{1}에 도형 T1T _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 각각의 부채꼴의 호와 두 선분으로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 각각 T2T _{2}, T3T _{3}이라 하자. 정삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}에서 세 도형 T1T _{1}, T2T _{2}, T3T _{3}으로 이루어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 부채꼴 M1N1L1\mathrm{M} _{1} N _{1} L _{1}의 호 N1L1\mathrm{N} _{1} L _{1}을 이등분하는 점을 A2\mathrm{A} _{2}라 할 때, 부채꼴 M1N1L1\mathrm{M} _{1} N _{1} L _{1}에 내접하는 정삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}를 그리고 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

A1\mathrm{A} _{1} B1\mathrm{B} _{1} M1\mathrm{M} _{1} L1\mathrm{L} _{1} C1\mathrm{C} _{1} N1\mathrm{N} _{1} T1T _{1} T2T _{2} T3T _{3} A2\mathrm{A} _{2} M1\mathrm{M} _{1} B2\mathrm{B} _{2} L1\mathrm{L} _{1} C2\mathrm{C} _{2} N1\mathrm{N} _{1}
R1R _{1} R2R _{2}
⋯\cdots
R3R _{3}⋯\cdots

①3(33−π)11\displaystyle \frac{3 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{11}②13(33−π)44\displaystyle \frac{13 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{44}③7(33−π)22\displaystyle \frac{7 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{22}④15(33−π)44\displaystyle \frac{15 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{44}⑤4(33−π)11\displaystyle \frac{4 ( 3 \sqrt{3} - \pi )}{11}

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①

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기 (도형 T1T _{1}의 넓이)=34×12×2−16×π×12=33−π6\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1 ^{2} \times 2 - \frac{1}{6} \times \pi \times 1 ^{2} = \frac{3 \sqrt{3} - \pi}{6} (도형 T2T _{2}의 넓이)==(도형 T3T _{3}의 넓이) =34×(12)2×2−16×π×(12)2\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \times 2 - \frac{1}{6} \times \pi \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}=14×33−π6\displaystyle = \frac{1}{4} \times \frac{3 \sqrt{3} - \pi}{6} S1S _{1}==(도형 T1T _{1}의 넓이)++2×2 \times(도형 T2T _{2}의 넓이) =33−π6+2×(14×33−π6)=33−π4\displaystyle = \frac{3 \sqrt{3} - \pi}{6} + 2 \times \left( \frac{1}{4} \times \frac{3 \sqrt{3} - \pi}{6} \right) = \frac{3 \sqrt{3} - \pi}{4} 정삼각형 AnBnCn{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}의 한 변의 길이를 ana _{n}이라 하면 2×(32×an+1)=12×an\displaystyle 2 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \times a _{n+1} \right) = \frac{1}{2} \times a _{n}이므로 an+1=123an\displaystyle a _{n+1} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} a _{n} 그림 Rn+1R _{n+1}의 새로 색칠된 부분의 넓이를 bn+1b _{n+1}이라 하면 bn+1=112bn\displaystyle b _{n+1} = \frac{1}{12} b _{n}, b1=S1b _{1} = S _{1} 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항이 33−π4\displaystyle \frac{3 \sqrt{3} - \pi}{4}이고 공비가 112\displaystyle \frac{1}{12}인 등비수열이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nbk\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k=1} ^{n} {b _{k}}}} =33−π41−112=3(33−π)11\displaystyle = \frac{\frac{3 \sqrt{3} - \pi}{4}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{3 \left( 3 \sqrt{3} - \pi \right)}{11}

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#등비급수#닮음#도형

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