정삼각형 반원 급수

$\triangle {\mathrm{A} _{1} \mathrm{B} _{1} \mathrm{C} _{1}}$의 높이를 $h _{1}$, $\triangle {\mathrm{A} _{2} \mathrm{B} _{2} \mathrm{C} _{2}}$의 높이를 $h _{2}$라 하면 $\displaystyle h _{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \sqrt{3} = 3$, $h _{2} = 1$이므로 $\triangle {\mathrm{A} _{1} \mathrm{B} _{1} \mathrm{C} _{1}}$과 $\triangle {\mathrm{A} _{2} \mathrm{B} _{2} \mathrm{C} _{2}}$의 높이 비는 $3 : 1$ 따라서 두 삼각형의 길이 비는 $3 : 1$이고 넓이 비는 $9 : 1$이다. 그러므로 $\mathrm{R} _{1} : \mathrm{R} _{2}$의 넓이 비도 $9 : 1$이다. … ㉠ 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{A} _{2}}$를 지름으로 하는 반원과 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{B} _{1}}$과의 교점을 $\mathrm{D} _{1}$. $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{A} _{2}}$의 중점을 $\mathrm{O} _{1}$이라 하면 $\triangle {\mathrm{O} _{1} \mathrm{D} _{1} \mathrm{B} _{1}}$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{O} _{1} D _{1}} = \overline{\mathrm{O} _{1} B _{1}}$인 이등변삼각형이고, $\angle {\mathrm{D} _{1} O _{1} B _{1}} = 60 ^\circ$, $\angle {\mathrm{D} _{1} O _{1} A _{2}} = 60 ^\circ$이다. 따라서 칠해진 부분의 넓이는 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2} + \pi 1 ^{2} \times \frac{1}{6} \right) \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}$ … ㉡ ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\mathrm{S} _{n} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3}}{1 - \frac{1}{9}}}$$\displaystyle = \frac{9 \sqrt{3} + 6 \pi}{16}$