공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 선분 근의 방정식

문제

한 변의 길이가 1010인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}가 있다. 그림과 같이 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 내부에 한 점 P\mathrm{P}를 잡고, 점 P\mathrm{P}를 지나고 정사각형의 각 변에 평행한 두 직선이 정사각형의 네 변과 만나는 점을 각각 E\mathrm{E}, F\mathrm{F}, G\mathrm{G}, H\mathrm{H}라 하자.

직사각형 PFCG\mathrm{PFCG}의 둘레의 길이가 2828이고 넓이가 4646일 때, 두 선분 AE\mathrm{{AE}}와 AH\mathrm{{AH}}의 길이를 두 근으로 하는 이차방정식은? (단, 이차방정식의 이차항의 계수는 1\mathrm{1}이다.) [4점] ①x2−6x+4=0x ^{2} - 6 x + 4 = 0②x2−6x+6=0x ^{2} - 6 x + 6 = 0③x2−6x+8=0x ^{2} - 6 x + 8 = 0④x2−8x+6=0x ^{2} - 8 x + 6 = 0⑤x2−8x+8=0x ^{2} - 8 x + 8 = 0

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②

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해설

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식 문제해결하기

AH‾=α\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \alpha, AE‾=β\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \beta라 하면 PG‾=10−α\displaystyle \mathrm{\overline{PG}} = 10 - \alpha, PF‾=10−β\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 10 - \beta이다. 직사각형 PFCG\mathrm{PFCG}의 둘레의 길이는 2(10−α)+2(10−β)=282 ( 10 - \alpha ) + 2 ( 10 - \beta ) = 28이므로 α+β=6\alpha + \beta = 6이다. 직사각형 PFCG\mathrm{PFCG}의 넓이는 (10−α)(10−β)=46( 10 - \alpha ) ( 10 - \beta ) = 46이므로 αβ=6\alpha \beta = 6이다. 따라서 α\alpha, β\beta를 두 근으로 하는 이차방정식은 x2−(α+β)x+αβ=0x ^{2} - ( \alpha + \beta ) x + \alpha \beta = 0에서 x2−6x+6=0x ^{2} - 6 x + 6 = 0이다.

태그

#근과 계수의 관계#도형

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