미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 넓이 급수

문제

한 변의 길이가 44인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}가 있다. 그림과 같이 두 선분 AD\mathrm{AD}, DC\mathrm{DC}의 중점을 각각 P1\mathrm{P} _{1}, Q1\mathrm{Q} _{1}이라 하고, 두 선분 AQ1\mathrm{AQ} _{1}, CP1\mathrm{CP} _{1}의 교점을 D1\mathrm{D} _{1}이라 하자. 이때, 사각형 DP1D1Q1\mathrm{DP} _{1} D _{1} Q _{1}의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 선분 BD1\mathrm{BD} _{1}을 대각선으로 하는 정사각형을 BC1D1A1\mathrm{BC} _{1} D _{1} A _{1}이라 하자. 두 선분 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}, D1C1\mathrm{D} _{1} C _{1}의 중점을 각각 P2\mathrm{P} _{2}, Q2\mathrm{Q} _{2}라 하고, 두 선분 A1Q2\mathrm{A} _{1} Q _{2}, C1P2\mathrm{C} _{1} P _{2}의 교점을 D2\mathrm{D} _{2}라 하자. 이때, 사각형 D1P2D2Q2\mathrm{D} _{1} P _{2} D _{2} Q _{2}의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 선분 BD2\mathrm{BD} _{2}를 대각선으로 하는 정사각형을 BC2D2A2\mathrm{BC} _{2} D _{2} A _{2}라 하자. 두 선분 A2D2\mathrm{A} _{2} D _{2}, D2C2\mathrm{D} _{2} C _{2}의 중점을 각각 P3\mathrm{P} _{3}, Q3\mathrm{Q} _{3}이라 하고, 두 선분 A2Q3\mathrm{A} _{2} Q _{3}, C2P3\mathrm{C} _{2} P _{3}의 교점을 D3\mathrm{D} _{3}이라 하자. 이때, 사각형 D2P3D3Q3\mathrm{D} _{2} P _{3} D _{3} Q _{3}의 넓이를 S3S _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 nn번째 사각형의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①245\displaystyle \frac{24}{5}②163\displaystyle \frac{16}{3}③275\displaystyle \frac{27}{5}④203\displaystyle \frac{20}{3}⑤365\displaystyle \frac{36}{5}

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①

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해설

DP1‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{D} P _{1}} = 2, △DP1D1\triangle \mathrm{D} P _{1} D _{1}󰁀△BCD1\triangle \mathrm{BCD} _{1}이므로 DD1‾=423\displaystyle \overline{\mathrm{D} D _{1}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} ∴\therefore S1=83\displaystyle S _{1} = \frac{8}{3} 한편, 정사각형 BC1D1A1\mathrm{B} C _{1} D _{1} A _{1}의 한 변의 길이는 83\displaystyle \frac{8}{3}이므로 각 정사각형의 넓이는 공비가 (23)2=49\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} = \frac{4}{9}인 등비수열을 이룬다. ∴\therefore ∑n=1∞Sn=245\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{24}{5}

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#무한등비급수#닮음#도형

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