정사각형 회전 삼각형 극한

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 함수의 극한문제 해결하기

$\displaystyle {\overline{\mathrm{CI}}} = t$라 하자. 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{B}$에 한없이 가까워지면 $t \rightarrow 0$이다. 점 $\mathrm{I}$에서 선분 $\mathrm{QC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABI}$와 $\mathrm{CH} I$는 닮음이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{BI}}} = 1 - t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AI}}} = \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AI}} : {\overline{AB}} = {\overline{CI}} : {\overline{CH}}$이므로 $\displaystyle \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2} : 1 = t : \mathrm{\overline{CH \mathit{}}}$ $\displaystyle \therefore {\overline{\mathrm{CH}}} = \frac{t}{\sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}}$ 이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AI}} : {\overline{BI}} = {\overline{CI}} : {\overline{HI}}$이므로 $\displaystyle \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2} : 1 - t = t : \mathrm{\overline{HI \mathit{}}}$ $\displaystyle \therefore {\overline{\mathrm{HI}}} = \frac{t \left( 1 - t \right)}{\sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}}$ 이다. 삼각형 $\mathrm{IQC}$에 대하여 $S$, $L$을 구해보면 $\displaystyle S = \frac{t ^{2} \left( 1 - t \right)}{t ^{2} - 2 t + 2}$, $\displaystyle L = 2 t \frac{\sqrt{t ^{2} - 2 t + 2} + 1}{\sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0} {\frac{L ^{2}}{S}}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0} {\frac{4 t ^{2} \times \frac{t ^{2} - 2 t + 3 + 2 \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}}{t ^{2} - 2 t + 2}}{\frac{t ^{2} \left( 1 - t \right)}{t ^{2} - 2 t + 2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0} {\frac{4 \left( t ^{2} - 2 t + 3 + 2 \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2} \right)}{1 - t}}$$\displaystyle = 12 + 8 \sqrt{2}$ 따라서 $a = 12$, $b = 8$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 144 + 64 = 208$이다. [다른풀이]

[그림1]

[그림 1]에서 $\mathrm{\angle} CIQ = \angle DAP$, $\displaystyle \mathrm{\overline{IC}} = {\overline{IQ}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = {\overline{AP}}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{IQC}$, $\mathrm{APD}$는 서로 닮음인 도형이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{\left( \triangle IQC \text{의} \text{둘레의} \text{길이} \right)} ^{2}}{\left( \mathrm{\triangle} IQC \text{의} \text{넓이} \right)} = \frac{\mathrm{\left( \triangle APD \text{의} \text{둘레의} \text{길이} \right)} ^{2}}{\left( \mathrm{\triangle} APD \text{의} \text{넓이} \right)}$ 이다.

[그림 2]

[그림 2]에서 볼 수 있듯이 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{B}$에 한없이 가까워지면 삼각형 $\mathrm{APD}$는 삼각형 $\mathrm{ABD}$에 한없이 가까워진다.

[그림 3]

[그림 3]에서 삼각형 $\mathrm{ABD}$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{\left( \triangle ABD \text{의} \text{둘레의} \text{길이} \right)} ^{2}}{\left( \mathrm{\triangle} ABD \text{의} \text{넓이} \right)} = \frac{\left( 1 + 1 + \sqrt{2} \right) ^{2}}{\frac{1}{2} \times 1 \times 1} = 12 + 8 \sqrt{2}$ 이다. 그러므로 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{B}$에 한없이 가까워지면 $\displaystyle \frac{L ^{2}}{S}$의 값은 $\displaystyle 12 + 8 \sqrt{2}$에 한없이 가까워진다. 따라서 $a = 12$, $b = 8$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 144 + 64 = 208$이다.