기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 두 원 내적

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형 ABCD\mathrm{A} BCD의 내부에 선분 AB\mathrm{AB}와 선분 BC\mathrm{B} C에 접하고 반지름의 길이가 11인 원 C1C _{1}과 선분 AD\mathrm{AD}와 선분 CD\mathrm{CD}에 접하고 반지름의 길이가 11인 원 C2C _{2}가 있다. 원 C1C _{1}과 선분 AB\mathrm{AB}의 접점을 P\mathrm{P}라 하고, 원 C2C _{2} 위의 한 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. PC⃗⋅PQ⃗\mathrm{\vec{PC}} \cdot \vec{PQ}의 최댓값을 a+b\displaystyle a + \sqrt{b}라 할 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 유리수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 문제를 해결한다. 원 C2C _{2}의 중심을 O2\mathrm{O} _{2}라 하면, PC⃗⋅PQ⃗\mathrm{\vec{PC}} \cdot {\vec{PQ}}=PC⃗⋅(PO2⃗+O2Q⃗)\mathrm{=} {\vec{PC}} \cdot ( {\vec{PO _{2}}} + {\vec{O _{2} Q}} ) =PC⃗⋅PO⃗2+PC⃗⋅O2Q⃗= \mathrm{\vec{PC}} \cdot \vec{PO} _{2} + \vec{PC} \cdot \vec{O _{2} Q} 점 P\mathrm{P}가 원점에, 선분 AB\mathrm{A} B가 yy축 위에 오도록 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}와 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}를 좌표평면 위에 놓으면 두 점 O2\mathrm{O} _{2}, C\mathrm{C}의 좌표는 각각 (3,2)( 3 , 2 ), (4,−1)( 4 , - 1 )이다. 그러므로 PC⃗⋅PO⃗2=(4,−1)⋅(3,2)\mathrm{\vec{PC}} \cdot \vec{PO} _{2} = ( 4 , - 1 ) \cdot ( 3 , 2 )=12−2= 12 - 2=10= 10 PC⃗\mathrm{\vec{PC}}와 O2Q⃗\mathrm{\vec{O _{2} Q}}가 이루는 각을 θ\theta라 하면 PC⃗⋅O2Q⃗\mathrm{\vec{PC}} \cdot \vec{O _{2} Q} =∣PC⃗∣∣O2Q⃗∣cos⁡θ\mathrm{=} \left| \vec{PC} \right| \left| \vec{O _{2} Q} \right| \cos \theta =17×1×cos⁡θ\displaystyle = \sqrt{17} \times 1 \times \cos \theta≤17\displaystyle \leq \sqrt{17}에서 θ=0\theta = 0일 때, PC⃗⋅O2Q⃗\mathrm{\vec{PC}} \cdot \vec{O _{2} Q}의 최댓값은 17\displaystyle \sqrt{17} 그러므로 PC⃗⋅PQ⃗\mathrm{\vec{PC}} \cdot \vec{PQ}의 최댓값은 10+17\displaystyle 10 + \sqrt{17} 따라서 a+b=10+17=27a + b = 10 + 17 = 27

태그

#내적#최댓값

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