미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 도형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형 A1B1C1D\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D가 있다. 정사각형 A1B1C1D\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D의 두 대각선의 교점을 B2\mathrm{B} _{2}라 하고, 점 B2\mathrm{B} _{2}에서 두 변 A1D\mathrm{A} _{1} D, C1D\mathrm{C} _{1} D에 내린 수선의 발을 각각 A2\mathrm{A} _{2}, C2\mathrm{C} _{2}라 하자. 점 B2\mathrm{B} _{2}를 지나고 두 변 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}에 동시에 접하는 원을 O1O _{1}이라 하고, 원 O1O _{1}이 두 변 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}에 접하는 점을 각각 P1\mathrm{P} _{1}, Q1\mathrm{Q} _{1}이라 할 때, 삼각형 B2P1Q1\mathrm{B} _{2} P _{1} Q _{1}의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 정사각형 A2B2C2D\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D의 두 대각선의 교점을 B3\mathrm{B} _{3}이라 하고, 점 B3\mathrm{B} _{3}에서 두 변 A2D\mathrm{A} _{2} D, C2D\mathrm{C} _{2} D에 내린 수선의 발을 각각 A3\mathrm{A} _{3}, C3\mathrm{C} _{3}이라 하자. 점 B3\mathrm{B} _{3}을 지나고 두 변 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}, B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}에 동시에 접하는 원을 O2O _{2}라 하고, 원 O2O _{2}가 두 변 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}, B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}에 접하는 점을 각각 P2\mathrm{P} _{2}, Q2\mathrm{Q} _{2}라 할 때, 삼각형 B3P2Q2\mathrm{B} _{3} P _{2} Q _{2}의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n\mathrm{n}번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①42−43\displaystyle \frac{4 \sqrt{2} - 4}{3}②43−53\displaystyle \frac{4 \sqrt{3} - 5}{3}③83−89\displaystyle \frac{8 \sqrt{3} - 8}{9}④42−34\displaystyle \frac{4 \sqrt{2} - 3}{4}⑤52−36\displaystyle \frac{5 \sqrt{2} - 3}{6}

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①

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 R1R _{1}에서 원 O1O _{1}의 중심을 O1\mathrm{O} _{1}, 반지름의 길이를 xx라 하고, 점 B2\mathrm{B} _{2}에서 선분 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자.

B1D‾=22\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} D}} = 2 \sqrt{2}이므로 B1B2‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} B _{2}}} = \sqrt{2}이다. 두 점 P1\mathrm{P} _{1}, Q1\mathrm{Q} _{1}은 원 O1O _{1}이 변 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}과 각각 접하는 점이므로 사각형 O1P1B1Q1\mathrm{O} _{1} P _{1} B _{1} Q _{1}은 한 변의 길이가 xx인 정사각형이다. B1O1‾=2x\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} O _{1}}} = \sqrt{2} \mathit{x}이므로 B1O1‾+O1B2‾=2x+x=2\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} O _{1}}} + {\overline{\mathrm{O} _{1} B _{2}}} = \sqrt{2} \mathit{x} + x = \sqrt{2} 따라서 x=2−2\displaystyle x = 2 - \sqrt{2} 또한 P1Q1‾=2x=22−2\displaystyle {\overline{\mathrm{P} _{1} Q _{1}}} = \sqrt{2} \mathit{x} = 2 \sqrt{2} - 2, B2H‾=x+22x=1\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{2} H}} = \mathit{x} + \frac{\sqrt{2}}{2} x = 1이다. 그러므로 S1=12×(22−2)×1=2−1\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times \left( 2 \sqrt{2} - 2 \right) \times 1 = \sqrt{2} - 1 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부이다.

정사각형 AnBnCnD\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D}와 정사각형 An+1Bn+1Cn+1D\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D}는 서로 닮음이고 점 An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}과 점 Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}은 각각 변 AnD\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{D}와 변 CnD\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D}의 중점이므로 닮음비는 2:12 : 1이다. 그러므로 두 삼각형 Bn+1PnQn\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}}, Bn+2Pn+1Qn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 2} \mathrm{P} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{Q} _{\mathit{n} + 1}은 서로 닮음이고 닮음비가 2:12 : 1이므로 넓이의 비는 4:14 : 1이다. 따라서 SnS _{n}은 첫째항이 2−1\displaystyle \sqrt{2} - 1이고 공비가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이므로 lim⁡n→∞Sn=2−11−14=43(2−1)=42−43\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \left( \sqrt{2} - 1 \right)} = \frac{4 \sqrt{2} - 4}{3}

태그

#등비급수#닮음#원

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