정사각형 6등분 직선 기울기

직선 $m$, $n$이 $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$라 하고 점 $\left( 9 , 9 \right)$를 $\mathrm{F}$라 하자. 정사각형 $\mathrm{OABC}$의 넓이가 $324$이므로 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이는 $54$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = 12$ 직선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{G}$라 하면 사각형 $\mathrm{OGFE}$의 넓이 $54$는 삼각형 $\mathrm{OGF}$와 삼각형 $\mathrm{OEF}$의 넓이의 합과 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OE}}} + {\overline{\mathrm{OG}}} = 12$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OG}} = a$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OE}}} = 12 - a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = 24 - a$ $\therefore$ $\mathrm{D} \left( 0 , \mathit{24} - a \right)$, $\mathrm{E} \left( 0 , \mathit{12} - a \right)$ 직선 $m$은 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{F}$를 지나므로 직선 $m$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a - 15}{9}$ 직선 $n$은 두 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$를 지나므로 직선 $n$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a - 3}{9}$ 두 직선 $m$과 $n$의 기울기의 곱은 $\displaystyle \frac{a - 15}{9} \times \frac{a - 3}{9}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{81} \left( a ^{2} - 18 a + 45 \right) = \frac{1}{81} \left( a - 9 \right) ^{2} - \frac{4}{9}$ $6 \leq a \leq 10$이므로 $a = 6$일 때 최댓값 $\displaystyle - \frac{1}{3}$ $a = 9$일 때 최솟값 $\displaystyle - \frac{4}{9}$를 갖는다. $\therefore$ $\displaystyle \alpha = - \frac{1}{3}$, $\displaystyle \beta = - \frac{4}{9}$ 따라서 $\displaystyle \alpha ^{2} + \beta ^{2} = \frac{25}{81}$이므로 $p + q = 106$