정점을 지나는 직선과 삼각형 넓이의 최소

정점 $\mathrm{P}$를 지나는 직선의 기울기를 $m$으로 두고 넓이를 $m$의 식으로 나타낸다. 주어진 식이 $k$에 대한 항등식이므로 $x + y - 5 = 0$, $3 x - y + 1 = 0$에서 $\mathrm{P} \mathit{\left( 1 , 4 \right)}$ 직선 $l$이 $x$축, $y$축의 양의 부분과 모두 만나므로 기울기 $m$은 $m < 0$이고 $l : y = m \left( x - 1 \right) + 4$ $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( 1 - \frac{4}{m} , 0 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( 0 , 4 - m \right)}$이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{4}{m} \right) \left( 4 - m \right) = \frac{1}{2} \left( 8 - m - \frac{16}{m} \right)$ $- m > 0$, $\displaystyle - \frac{16}{m} > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle ( - m ) + \left( - \frac{16}{m} \right) \geq 2 \sqrt{( - m ) \times \left( - \frac{16}{m} \right)} = 2 \sqrt{16} = 8$ 즉 $\displaystyle S \geq \frac{1}{2} \left( 8 + 8 \right) = 8$이고, 등호는 $\displaystyle - m = - \frac{16}{m}$, 즉 $m = - 4$일 때 성립한다. 이때 $l : y = - 4 \left( x - 1 \right) + 4$, 즉 $4 x + y - 8 = 0$이고 $\mathrm{A} \mathit{\left( 2 , 0 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( 0 , 8 \right)}$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이다. 주어진 식을 정리하면 $\left( 1 + 3 k \right) x + \left( 1 - k \right) y - 5 + k = 0$ 이 직선이 $4 x + y - 8 = 0$과 일치하려면 $\left( 1 + 3 k \right) : \left( 1 - k \right) = 4 : 1$ $1 + 3 k = 4 - 4 k$에서 $\displaystyle k = \frac{3}{7}$ (이때 상수항은 $\displaystyle - 5 + \frac{3}{7} = - \frac{32}{7} = - 8 \times \frac{4}{7}$이므로 두 직선은 일치한다.) 따라서 $p = 7$, $q = 3$이고 $p + q = 10$