정적분으로 정의된 함수의 극값

$\displaystyle g \left( x \right) = \int _{- 4} ^{x} {} f \left( t \right) dt$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' ( x )$$= f \left( x \right)$이므로 $\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} 3 x ^{2} + 3 x + a & & \left( x < 0 \right) \\ 3 x + a & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극솟값을 가지므로 $g' \left( 2 \right) = 6 + a = 0$에서 $a = - 6$이다. $\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} 3 \left( x + 2 \right) \left( x - 1 \right) & & \left( x < 0 \right) \\ 3 \left( x - 2 \right) & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $g \left( x \right)$의 극댓값은 $g \left( - 2 \right)$$\displaystyle = \int _{- 4} ^{- 2} {} \left( 3 t ^{2} + 3 t - 6 \right) dt$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} + \frac{3}{2} t ^{2} - 6 t \end{array} \right] _{- 4} ^{- 2}$$= 26$