정적분으로 정의된 함수의 최솟값

문제의 주어진 그림에서 $f ( x ) = a ( x - 1 ) ( x - 4 )$$= a ( x ^{2} - 5 x + 4 ) ( a > 0 )$ $\displaystyle g ( x ) = \int _{x} ^{x+1} f ( t ) dt$ 위의 주어진 양변을 $x$에 관하여 미분하면 $g' ( x ) = f ( x + 1 ) - f ( x )$ $= a \left\{ ( x + 1 ) ^{2} - 5 ( x + 1 ) + 4 \right\} - a ( x ^{2} - 5 x + 4 )$ $= 2 a ( x - 2 )$ $a > 0$이므로 $x < 2$에서 $g' ( x ) < 0 ,$ $x > 2$에서 $g' ( x ) > 0$ 따라서, $g ( x )$는 $x = 2$에서 극소이고 최소이므로 최솟값은 $g ( 2 )$