미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분을 포함한 등식

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 실수 xx에 대하여 xf(x)=ax3+2x−3+∫01f′(t)dt\displaystyle xf \left( x \right) = ax ^{3} + 2 x - 3 + \int _{0} ^{1} f' \left( t \right) dt 를 만족시킬 때, ∫02f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{2} f \left( x \right) dx의 값은? (단, aa는 상수이다.) [4점] ①33②66③99④1212⑤1515

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④

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해설

xf(x)=ax3+2x−3+∫01f′(t)dt\displaystyle xf \left( x \right) = ax ^{3} + 2 x - 3 + \int _{0} ^{1} f' \left( t \right) dt의 양변에 x=0x = 0을 대입하면 0×f(0)=−3+∫01f′(t)dt\displaystyle 0 \times f \left( 0 \right) = - 3 + \int _{0} ^{1} f' \left( t \right) dt에서 ∫01f′(t)dt=3\displaystyle \int _{0} ^{1} {} f' \left( t \right) dt = 3 xf(x)=ax3+2xxf \left( x \right) = ax ^{3} + 2 x, f(x)=ax2+2f \left( x \right) = ax ^{2} + 2 ∫01f′(t)dt=f(1)−f(0)=a=3\displaystyle \int _{0} ^{1} f' \left( t \right) dt = f \left( 1 \right) - f \left( 0 \right) = a = 3 그러므로 f(x)=3x2+2f \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 따라서 ∫02f(x)dx=[x3+2x]02=12\displaystyle \int _{0} ^{2} f \left( x \right) dx = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} x ^{3} + 2 x \end{array} \right] _{0} ^{2} = 12

태그

#정적분#항등식

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