미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분 포함 극한

문제

lim⁡n→∞(n∫01n1x+1dx)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( n \int _{0} ^{\frac{1}{n}} {\frac{1}{\sqrt{x + 1}}} dx \right)의 값은? [3점] ①11②2\displaystyle \sqrt{2}③22④22\displaystyle 2 \sqrt{2}⑤44

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①

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해설

∫01n1x+1dx=∫01n(x+1)−12dx\displaystyle \int _{0} ^{\frac{1}{n}} {\frac{1}{\sqrt{x + 1}}} dx = \int _{0} ^{\frac{1}{n}} {( x + 1 ) ^{- \frac{1}{2}}} dx =2(n+1−n)n\displaystyle = \frac{2 ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} )}{\sqrt{n}} ∴ lim⁡n→∞(n∫01n1x+1dx)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( n \int _{0} ^{\frac{1}{n}} {\frac{1}{\sqrt{x + 1}}} dx \right)=lim⁡n→∞2nn+1+n=1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = 1

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#정적분#극한

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